ГДЗ: Упражнение 336 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Определение следствия: Уравнение (2) является следствием уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

• Уравнение (1): \( x - 3 = 0 \). Корень: \( x_1 = 3 \).
• Уравнение (2): \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). Используя теорему Виета или разложение: \( (x - 2)(x - 3) = 0 \). Корни: \( x_2 = 2, x_3 = 3 \).

Так как корень уравнения (1) \( x_1 = 3 \) является одним из корней уравнения (2), то уравнение \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) является следствием уравнения \( x - 3 = 0 \).

Уравнение (1): \( |x| = 5 \). Корни: \( x_1 = 5, x_2 = -5 \).

Уравнение (2): \( \sqrt{x^2} = 5 \). По определению корня, \( \sqrt{x^2} = |x| \). Таким образом, уравнение (2) эквивалентно \( |x| = 5 \). Его корни также \( x_1 = 5, x_2 = -5 \).

Так как оба уравнения имеют одинаковые корни, они являются равносильными. Следовательно, каждое из них является следствием другого.

Уравнение (1): \( \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 0 \). Это уравнение равносильно системе: \( \begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases} \).

• Корни числителя: \( (x - 1)(x - 2) = 0 \). Корни \( x = 1, x = 2 \).
• Условие: \( x \neq 1 \).
• Единственный корень уравнения (1): \( x_1 = 2 \).

Уравнение (2): \( x^2 - 3x + 2 = 0 \). Корни: \( x_2 = 1, x_3 = 2 \).

Корень уравнения (1) \( x_1 = 2 \) является корнем уравнения (2). Однако корень \( x_2 = 1 \) уравнения (2) не является корнем уравнения (1). Следовательно, уравнение (2) является следствием уравнения (1), но не наоборот.

Уравнение \( x^2 - 3x + 2 = 0 \) является следствием уравнения \( \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 0 \).

Примечание: В первом уравнении, по всей видимости, опечатка, и оба логарифма должны быть по основанию 8 для сравнения по равносильности. Мы будем сравнивать ОДЗ уравнений и их корни (предполагая \( \log_8 x \) вместо \( \log_5 x \)).

• Уравнение (1') (с исправлением): \( \log_8 x + \log_8 (x - 2) = 1 \).
  ОДЗ (1'): \( x > 0 \) и \( x - 2 > 0 \), то есть \( \mathbf{x > 2} \).
  Преобразование: \( \log_8 (x(x - 2)) = 1 \).
• Уравнение (2): \( \log_8 (x(x - 2)) = 1 \).
  ОДЗ (2): \( x(x - 2) > 0 \), то есть \( x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty) \).

Решение обоих уравнений одинаково: \( x(x - 2) = 8^1 \) или \( x^2 - 2x - 8 = 0 \), что дает корни \( x_A = 4, x_B = -2 \).

• Корни (1'): Только \( x = 4 \) (так как \( 4 > 2 \)).
• Корни (2): \( x = 4 \) (так как \( 4 > 2 \)) и \( x = -2 \) (так как \( -2 < 0 \)).

Корень уравнения (1') \( x = 4 \) является корнем уравнения (2). Корень \( x = -2 \) уравнения (2) не является корнем уравнения (1'). Следовательно, уравнение (2) является следствием уравнения (1').

Уравнение \( \log_8 (x(x - 2)) = 1 \) является следствием уравнения \( \log_8 x + \log_8 (x - 2) = 1 \).