ГДЗ: Упражнение 350 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
5. Анализ: Это уравнение является трансцендентным и не имеет простого аналитического решения. Вероятно, в условии допущена опечатка (например, \( x^2 \) вместо \( x \)). Однако, решая исходное уравнение, можно лишь констатировать, что оно сводится к сложному показательному уравнению. Простым подбором можно убедиться, что целые числа не являются корнями.
Ответ: Уравнение сводится к \( 6 \cdot 5^{x^2} = 25 \cdot 10^x (2^x + 1) \). Решение не может быть найдено простыми методами (предполагая опечатку в учебнике).
2)
\( \lg (2^{x^2} + x + 4) = x - \lg 5 \)
Ответ
1. Находим ОДЗ: \( 2^{x^2} + x + 4 > 0 \). Так как \( x^2 \ge 0 \), \( 2^{x^2} \ge 1 \). Квадратный трехчлен \( x^2 + x + 4 \) имеет отрицательный дискриминант и положителен для всех \( x \). Таким образом, ОДЗ: \( x \in \mathbb{R} \).
2. Преобразуем уравнение: \( \lg (2^{x^2} + x + 4) + \lg 5 = x \). \( \lg (5(2^{x^2} + x + 4)) = x \).
3. По определению логарифма: \( 5(2^{x^2} + x + 4) = 10^x \). \( 2^{x^2} + x + 4 = \frac{10^x}{5} = 2 \cdot 10^x \).
4. Решаем подбором/анализом: Проверим \( x = 0 \): \( 2^0 + 0 + 4 = 5 \). \( 2 \cdot 10^0 = 2 \). \( 5 \neq 2 \). Проверим \( x = 1 \): \( 2^1 + 1 + 4 = 7 \). \( 2 \cdot 10^1 = 20 \). \( 7 \neq 20 \). Проверим \( x = 2 \): \( 2^4 + 2 + 4 = 22 \). \( 2 \cdot 10^2 = 200 \). \( 22 \neq 200 \). Как и в предыдущем случае, уравнение является трансцендентным и, скорее всего, имеет ошибку в условии.
Ответ: Уравнение сводится к \( 2^{x^2} + x + 4 = 2 \cdot 10^x \). Решение не может быть найдено простыми методами (предполагая опечатку в учебнике).
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифмом положительного числа \( a \) по основанию \( b \), где \( b > 0 \) и \( b \neq 1 \), называется показатель степени \( c \), в которую нужно возвести основание \( b \), чтобы получить число \( a \).
\( \log_b a = c \iff b^c = a \quad (a > 0, b > 0, b \neq 1) \)
Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма
Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для уравнения с логарифмами необходимо проверить, чтобы все аргументы \( f(x) \) логарифмов \( \log_b f(x) \) удовлетворяли условию \( f(x) > 0 \).
\( \log_b f(x) \implies f(x) > 0 \)
Свойства логарифмов (преобразование суммы и разности)
Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов; разность — логарифму частного. При этом важно следить за равносильностью: преобразование суммы/разности в логарифм произведения/частного может расширить ОДЗ.
\( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \) (при \( x > 0, y > 0 \)); \( \log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y} \) (при \( x > 0, y > 0 \))
Формула перехода к новому основанию
Позволяет переходить от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию, что часто используется для приведения логарифмов к одному основанию или для замены переменной.
\( \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} \) и частный случай \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
