ГДЗ: Упражнение 346 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Переход от показательного уравнения \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) к алгебраическому \( f(x) = g(x) \) при \( a > 0, a \neq 1 \) является равносильным преобразованием. Область определения (ОДЗ) обоих уравнений — \( x \in \mathbb{R} \).
Вывод: Уравнения равносильны.
2)
\( \log_3 (x - 1) = 2 \) и \( x - 1 = 9 \)
Ответ
Уравнение (1): \( \log_3 (x - 1) = 2 \). ОДЗ: \( x - 1 > 0 \), то есть \( x > 1 \).
Уравнение (2): \( x - 1 = 9 \). ОДЗ: \( x \in \mathbb{R} \).
Переход от логарифмического уравнения \( \log_b f(x) = c \) к алгебраическому \( f(x) = b^c \) равносилен при условии \( f(x) > 0 \).
Так как \( x - 1 = 9 \), то \( x - 1 = 9 > 0 \) автоматически. То есть, корень уравнения \( x - 1 = 9 \) (\( x = 10 \)) удовлетворяет условию ОДЗ первого уравнения. В данном случае, оба уравнения имеют единственный корень \( x = 10 \).
Вывод: Уравнения равносильны.
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифмом положительного числа \( a \) по основанию \( b \), где \( b > 0 \) и \( b \neq 1 \), называется показатель степени \( c \), в которую нужно возвести основание \( b \), чтобы получить число \( a \).
\( \log_b a = c \iff b^c = a \quad (a > 0, b > 0, b \neq 1) \)
Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма
Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для уравнения с логарифмами необходимо проверить, чтобы все аргументы \( f(x) \) логарифмов \( \log_b f(x) \) удовлетворяли условию \( f(x) > 0 \).
\( \log_b f(x) \implies f(x) > 0 \)
Свойства логарифмов (преобразование суммы и разности)
Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов; разность — логарифму частного. При этом важно следить за равносильностью: преобразование суммы/разности в логарифм произведения/частного может расширить ОДЗ.
\( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \) (при \( x > 0, y > 0 \)); \( \log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y} \) (при \( x > 0, y > 0 \))
Формула перехода к новому основанию
Позволяет переходить от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию, что часто используется для приведения логарифмов к одному основанию или для замены переменной.
\( \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} \) и частный случай \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
