ГДЗ: Упражнение 339 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

• 1. Находим ОДЗ: \( x^2 + x - 5 > 0 \), \( 5x > 0 \), \( 1/(5x) > 0 \). Окончательное ОДЗ: \( \mathbf{x > 0} \) и \( x^2 + x - 5 > 0 \).
• 2. Упрощаем правую часть (ПЧ): Используем свойство логарифма произведения.
  \(\lg (5x) + \lg \frac{1}{5x} = \lg \left( 5x \cdot \frac{1}{5x} \right) = \lg 1 = 0 \) (при условии \( 5x \neq 0 \), что выполняется в ОДЗ).
• 3. Преобразуем уравнение: \( \frac{1}{2} \lg (x^2 + x - 5) = 0 \).
  \( \lg (x^2 + x - 5) = 0 \).
• 4. Переходим к алгебраическому уравнению: \( x^2 + x - 5 = 10^0 \). \( x^2 + x - 6 = 0 \).
• 5. Решаем квадратное уравнение: \( (x + 3)(x - 2) = 0 \). Корни: \( x_1 = -3, x_2 = 2 \).
• 6. Проверяем ОДЗ:
  \( x_1 = -3 \) не подходит (\( -3 \ngtr 0 \)).
  \( x_2 = 2 \) подходит. Проверим \( x^2 + x - 5 > 0 \): \( 2^2 + 2 - 5 = 1 > 0 \). Подходит.

Ответ: \( x = 2 \).

• 1. Находим ОДЗ: \( x^2 - 4x - 1 > 0 \), \( 8x > 0 \), \( 4x > 0 \). Окончательное ОДЗ: \( \mathbf{x > 0} \) и \( x^2 - 4x - 1 > 0 \).
• 2. Упрощаем правую часть (ПЧ): Используем свойство логарифма частного.
  \(\lg (8x) - \lg (4x) = \lg \frac{8x}{4x} = \lg 2 \) (при условии \( 4x \neq 0 \), что выполняется в ОДЗ).
• 3. Преобразуем уравнение: \( \frac{1}{2} \lg (x^2 - 4x - 1) = \lg 2 \).
  \( \lg (x^2 - 4x - 1) = 2 \lg 2 \).
  \( \lg (x^2 - 4x - 1) = \lg 4 \).
• 4. Приравниваем аргументы: \( x^2 - 4x - 1 = 4 \). \( x^2 - 4x - 5 = 0 \).
• 5. Решаем квадратное уравнение: \( (x - 5)(x + 1) = 0 \). Корни: \( x_1 = 5, x_2 = -1 \).
• 6. Проверяем ОДЗ:
  \( x_1 = 5 \) подходит. Проверим \( x^2 - 4x - 1 > 0 \): \( 25 - 20 - 1 = 4 > 0 \). Подходит.
  \( x_2 = -1 \) не подходит (\( -1 \ngtr 0 \)).

Ответ: \( x = 5 \).