ГДЗ: Упражнение 353 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

• 1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \), \( x \neq 1 \).
• 2. Вводим замену: Перейдем ко всем логарифмам по основанию 4. Пусть \( y = \log_4 x \) (\( y \neq 0 \)).
  Уравнение принимает вид:
  \( 5 \cdot \frac{1}{y} + y - 4 \cdot \frac{\log_4 x}{\log_4 25} = a \).
  \( 5 \cdot \frac{1}{y} + y - 4 \cdot \frac{y}{2 \log_4 5} = a \).
  \( \frac{5}{y} + y \left( 1 - \frac{2}{\log_4 5} \right) = a \).
• 3. Упрощаем коэффициент при \( y \):
  Пусть \( k = 1 - \frac{2}{\log_4 5} = 1 - 2 \log_5 4 = \log_5 5 - \log_5 4^2 = \log_5 \frac{5}{16} \).
  Так как \( 5/16 < 1 \), то \( k < 0 \).
• 4. Анализируем область значений функции \( g(y) = ky + \frac{5}{y} \):
  Нам нужно найти область значений функции \( g(y) \) на множестве \( y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
• 5. Исследование на интервале \( y > 0 \):
  Так как \( k < 0 \), \( g'(y) = k - \frac{5}{y^2} \). При \( y > 0 \), \( g'(y) < 0 \).
  Функция \( g(y) \) строго убывает на \( (0; +\infty) \).
  \( \lim_{y \to 0^+} g(y) = k \cdot 0 + \frac{5}{0^+} = +\infty \).
  \( \lim_{y \to +\infty} g(y) = k \cdot (+\infty) + 0 = -\infty \) (так как \( k < 0 \)).
  Область значений на \( (0; +\infty) \) — \( (-\infty; +\infty) \).
• 6. Вывод: Так как область значений функции \( g(y) \) при \( y > 0 \) покрывает всю числовую ось, то для любого действительного \( a \) найдется соответствующее значение \( y \), а значит, и \( x \).

Ответ: Уравнение имеет корни при всех значениях параметра \( a \): \( a \in (-\infty; +\infty) \).