ГДЗ: Упражнение 352 - Параграф § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

352 упражнение:

Решить уравнение.

1) \( \sqrt{\log_x 25} + 3 = \frac{1}{\log_5 x} \)

Ответ

1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \), \( x \neq 1 \). Дополнительное условие: \( \log_x 25 \ge 0 \) (т.е. \( x \ge 1 \) или \( 0 < x < 1/25 \)).
2. Преобразуем логарифмы:
\( \log_x 25 = 2 \log_x 5 \).
\( \frac{1}{\log_5 x} = \log_x 5 \).
3. Вводим замену: Пусть \( y = \log_x 5 \).
\( \sqrt{2y} + 3 = y \).
4. Решаем иррациональное уравнение:
\( \sqrt{2y} = y - 3 \).
Дополнительное условие для возведения в квадрат: \( y - 3 \ge 0 \) или \( \mathbf{y \ge 3} \).
\( 2y = (y - 3)^2 \).
\( 2y = y^2 - 6y + 9 \).
\( y^2 - 8y + 9 = 0 \).
5. Находим \( y \):
\( D = 64 - 36 = 28 \).
\( y_{1, 2} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2} = 4 \pm \sqrt{7} \).
Проверяем условие \( y \ge 3 \):
\( y_1 = 4 + \sqrt{7} \approx 6.6 \). Подходит.
\( y_2 = 4 - \sqrt{7} \approx 1.4 \). Не подходит.
6. Обратная замена:
\( \log_x 5 = 4 + \sqrt{7} \).
\( x^{4 + \sqrt{7}} = 5 \).
\( x = 5^{\frac{1}{4 + \sqrt{7}}} \).
Рационализируем показатель: \( \frac{1}{4 + \sqrt{7}} = \frac{4 - \sqrt{7}}{16 - 7} = \frac{4 - \sqrt{7}}{9} \).
\( x = 5^{\frac{4 - \sqrt{7}}{9}} \).
7. Проверяем ОДЗ: \( 4 - \sqrt{7} > 0 \), поэтому \( x > 1 \), что удовлетворяет \( \log_x 25 \ge 0 \).

Ответ: \( x = 5^{\frac{4 - \sqrt{7}}{9}} \).

2) \( \sqrt{2 \log_2^2 x + 3 \log_2 x - 5} = \log_2 (2x) \)

Ответ

1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \). Дополнительное условие (подкоренное выражение): \( 2 \log_2^2 x + 3 \log_2 x - 5 \ge 0 \).
2. Вводим замену: Пусть \( y = \log_2 x \).
\( \log_2 (2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + y \).
3. Решаем иррациональное уравнение:
\( \sqrt{2y^2 + 3y - 5} = 1 + y \).
Дополнительное условие: \( 1 + y \ge 0 \), то есть \( \mathbf{y \ge -1} \).
Возводим в квадрат: \( 2y^2 + 3y - 5 = (1 + y)^2 \).
\( 2y^2 + 3y - 5 = 1 + 2y + y^2 \).
\( y^2 + y - 6 = 0 \).
4. Находим \( y \):
\( (y + 3)(y - 2) = 0 \). Корни: \( y_1 = -3, y_2 = 2 \).
5. Проверяем условия:
Проверим \( y \ge -1 \): \( y_1 = -3 \) не подходит. \( y_2 = 2 \) подходит.
Проверим ОДЗ (подкоренное выражение): \( 2(2)^2 + 3(2) - 5 = 8 + 6 - 5 = 9 \ge 0 \). Подходит.
6. Обратная замена:
\( \log_2 x = 2 \). \( x = 2^2 = 4 \).

Ответ: \( x = 4 \).

Что применять при решении

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа \( a \) по основанию \( b \), где \( b > 0 \) и \( b \neq 1 \), называется показатель степени \( c \), в которую нужно возвести основание \( b \), чтобы получить число \( a \).

\( \log_b a = c \iff b^c = a \quad (a > 0, b > 0, b \neq 1) \)

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для уравнения с логарифмами необходимо проверить, чтобы все аргументы \( f(x) \) логарифмов \( \log_b f(x) \) удовлетворяли условию \( f(x) > 0 \).

\( \log_b f(x) \implies f(x) > 0 \)

Свойства логарифмов (преобразование суммы и разности)

Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов; разность — логарифму частного. При этом важно следить за равносильностью: преобразование суммы/разности в логарифм произведения/частного может расширить ОДЗ.

\( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \) (при \( x > 0, y > 0 \)); \( \log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y} \) (при \( x > 0, y > 0 \))

Формула перехода к новому основанию

Позволяет переходить от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию, что часто используется для приведения логарифмов к одному основанию или для замены переменной.

\( \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} \) и частный случай \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \)

Другие упражнения из параграфа § 19

336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4
Параграф: § 19 — Логарифмические уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.