ГДЗ: Упражнение 337 - Параграф § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

337 упражнение:

Решить уравнение (337–341).

1) \( \log_2 (x - 5) + \log_2 (x + 2) = 3 \)

Ответ

1. Находим ОДЗ: Аргументы логарифмов должны быть положительны. \( x - 5 > 0 \) и \( x + 2 > 0 \). Таким образом, \( x > 5 \).
2. Применяем свойство логарифма произведения: \( \log_2 ((x - 5)(x + 2)) = 3 \).
3. Переходим к алгебраическому уравнению: По определению логарифма: \( (x - 5)(x + 2) = 2^3 \). \( x^2 + 2x - 5x - 10 = 8 \). \( x^2 - 3x - 18 = 0 \).
4. Решаем квадратное уравнение: По теореме Виета: \( (x - 6)(x + 3) = 0 \). Корни: \( x_1 = 6, x_2 = -3 \).
5. Проверяем ОДЗ: Корень \( x_1 = 6 \) удовлетворяет условию \( x > 5 \). Корень \( x_2 = -3 \) не удовлетворяет условию \( x > 5 \).

Ответ: \( x = 6 \).

2) \( \log_3 (x - 2) + \log_3 (x + 6) = 2 \)

Ответ

1. Находим ОДЗ: \( x - 2 > 0 \) и \( x + 6 > 0 \). Таким образом, \( x > 2 \).
2. Применяем свойство логарифма произведения: \( \log_3 ((x - 2)(x + 6)) = 2 \).
3. Переходим к алгебраическому уравнению: \( (x - 2)(x + 6) = 3^2 \). \( x^2 + 4x - 12 = 9 \). \( x^2 + 4x - 21 = 0 \).
4. Решаем квадратное уравнение: \( (x + 7)(x - 3) = 0 \). Корни: \( x_1 = -7, x_2 = 3 \).
5. Проверяем ОДЗ: Корень \( x_1 = -7 \) не подходит (\( -7 \ngtr 2 \)). Корень \( x_2 = 3 \) подходит (\( 3 > 2 \)).

Ответ: \( x = 3 \).

3) \( \lg (x + \sqrt{3}) + \lg (x - \sqrt{3}) = 0 \)

Ответ

1. Находим ОДЗ: \( x + \sqrt{3} > 0 \) и \( x - \sqrt{3} > 0 \). Таким образом, \( x > \sqrt{3} \) (так как \( \sqrt{3} \approx 1.73 \)).
2. Применяем свойство логарифма произведения: \( \lg ((x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})) = 0 \). \( \lg (x^2 - 3) = 0 \).
3. Переходим к алгебраическому уравнению: \( x^2 - 3 = 10^0 \). \( x^2 - 3 = 1 \). \( x^2 = 4 \).
4. Решаем уравнение: Корни: \( x_1 = 2, x_2 = -2 \).
5. Проверяем ОДЗ: Корень \( x_1 = 2 \) подходит (\( 2 > \sqrt{3} \)). Корень \( x_2 = -2 \) не подходит.

Ответ: \( x = 2 \).

4) \( \lg (x - 1) + \lg (x + 1) = 0 \)

Ответ

1. Находим ОДЗ: \( x - 1 > 0 \) и \( x + 1 > 0 \). Таким образом, \( x > 1 \).
2. Применяем свойство логарифма произведения: \( \lg ((x - 1)(x + 1)) = 0 \). \( \lg (x^2 - 1) = 0 \).
3. Переходим к алгебраическому уравнению: \( x^2 - 1 = 10^0 \). \( x^2 - 1 = 1 \). \( x^2 = 2 \).
4. Решаем уравнение: Корни: \( x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2} \).
5. Проверяем ОДЗ: Корень \( x_1 = \sqrt{2} \) подходит (\( \sqrt{2} \approx 1.414 > 1 \)). Корень \( x_2 = -\sqrt{2} \) не подходит.

Ответ: \( x = \sqrt{2} \).

Что применять при решении

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа \( a \) по основанию \( b \), где \( b > 0 \) и \( b \neq 1 \), называется показатель степени \( c \), в которую нужно возвести основание \( b \), чтобы получить число \( a \).

\( \log_b a = c \iff b^c = a \quad (a > 0, b > 0, b \neq 1) \)

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для уравнения с логарифмами необходимо проверить, чтобы все аргументы \( f(x) \) логарифмов \( \log_b f(x) \) удовлетворяли условию \( f(x) > 0 \).

\( \log_b f(x) \implies f(x) > 0 \)

Свойства логарифмов (преобразование суммы и разности)

Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов; разность — логарифму частного. При этом важно следить за равносильностью: преобразование суммы/разности в логарифм произведения/частного может расширить ОДЗ.

\( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \) (при \( x > 0, y > 0 \)); \( \log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y} \) (при \( x > 0, y > 0 \))

Формула перехода к новому основанию

Позволяет переходить от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию, что часто используется для приведения логарифмов к одному основанию или для замены переменной.

\( \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} \) и частный случай \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \)

Другие упражнения из параграфа § 19

336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4
Параграф: § 19 — Логарифмические уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.