ГДЗ: Упражнение 351 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

• 1. Находим ОДЗ: \( x + 1 > 0 \) и \( x - 1 > 0 \). Окончательное ОДЗ: \( x > 1 \).
• 2. Вводим замену: Пусть \( u = \lg (x + 1) \) и \( v = \lg (x - 1) \).
  \( u^2 = uv + v^2 \).
  \( u^2 - uv - v^2 = 0 \).
• 3. Решаем как однородное уравнение:
  Разделим на \( v^2 \) (если \( v \neq 0 \), т.е. \( x - 1 \neq 1 \) или \( x \neq 2 \)):
  \( \left( \frac{u}{v} \right)^2 - \left( \frac{u}{v} \right) - 1 = 0 \).
  Пусть \( t = \frac{u}{v} = \frac{\lg (x + 1)}{\lg (x - 1)} \).
  \( t^2 - t - 1 = 0 \).
• 4. Находим \( t \):
  \( D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5 \).
  \( t_{1, 2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \).
• 5. Обратная замена:
  Случай 1: \( \frac{\lg (x + 1)}{\lg (x - 1)} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \).
  Это трансцендентное уравнение \( x + 1 = (x - 1)^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} \).
  Случай 2: \( \frac{\lg (x + 1)}{\lg (x - 1)} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \).
  Это трансцендентное уравнение \( x + 1 = (x - 1)^{\frac{1 - \sqrt{5}}{2}} \).

Вывод: Уравнение сводится к трансцендентным уравнениям. Для школьной программы, возможно, в условии была допущена опечатка. Простым решением может быть только \( x = \frac{3}{2} \) (если бы \(t=0\)), но это не так.

• 1. Находим ОДЗ: \( 4 - x > 0 \) (\( x < 4 \)), \( 2x > 0 \) (\( x > 0 \)), \( 2x \neq 1 \) (\( x \neq 1/2 \)). Окончательное ОДЗ: \( x \in (0; 4), x \neq 1/2 \).
• 2. Используем формулу перехода к новому основанию:
  \( \log_{2x} (4 - x) = \frac{\log_5 (4 - x)}{\log_5 (2x)} \).
• 3. Подставляем в уравнение:
  \( 2 \log_5 (4 - x) \cdot \frac{\log_5 (4 - x)}{\log_5 (2x)} = 3 \log_5 (4 - x) - \log_5 (2x) \).
• 4. Приводим к общему знаменателю \( \log_5 (2x) \) (при \( x \neq 1/2 \)):
  \( 2 \log_5^2 (4 - x) = 3 \log_5 (4 - x) \log_5 (2x) - \log_5^2 (2x) \).
  \( 2 \log_5^2 (4 - x) - 3 \log_5 (4 - x) \log_5 (2x) + \log_5^2 (2x) = 0 \).
• 5. Вводим замену для однородного уравнения:
  Пусть \( A = \log_5 (4 - x) \) и \( B = \log_5 (2x) \). Уравнение: \( 2A^2 - 3AB + B^2 = 0 \).
  Разделим на \( B^2 \) (если \( B \neq 0 \), т.е. \( x \neq 1/2 \)):
  \( 2 \left( \frac{A}{B} \right)^2 - 3 \left( \frac{A}{B} \right) + 1 = 0 \).
  Пусть \( t = A/B \). \( 2t^2 - 3t + 1 = 0 \).
  \( (2t - 1)(t - 1) = 0 \). Корни: \( t_1 = 1, t_2 = 1/2 \).
• 6. Обратная замена:
  Случай 1: \( t = 1 \). \( A = B \).
  \( \log_5 (4 - x) = \log_5 (2x) \).
  \( 4 - x = 2x \). \( 4 = 3x \). \( x_1 = \frac{4}{3} \). (Подходит по ОДЗ).
  Случай 2: \( t = 1/2 \). \( A = B/2 \).
  \( \log_5 (4 - x) = \frac{1}{2} \log_5 (2x) = \log_5 \sqrt{2x} \).
  \( 4 - x = \sqrt{2x} \).
  Возводим в квадрат (при условии \( 4 - x \ge 0 \) или \( x \le 4 \)):
  \( (4 - x)^2 = 2x \).
  \( 16 - 8x + x^2 = 2x \).
  \( x^2 - 10x + 16 = 0 \).
  \( (x - 2)(x - 8) = 0 \). Корни: \( x_2 = 2, x_3 = 8 \).
  \( x_2 = 2 \): Подходит по ОДЗ (\( 0 < 2 < 4 \)).
  \( x_3 = 8 \): Не подходит по ОДЗ.

Ответ: \( x_1 = \frac{4}{3}, x_2 = 2 \).