ГДЗ: Упражнение 341 - Параграф § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

341 упражнение:

Решить уравнение.

1) \( \log_{\sqrt{7}} (x - 1) \log_x x = \log_{\sqrt{7}} x \)

Ответ

1. Находим ОДЗ: \( x - 1 > 0 \), \( x > 0 \), \( x \neq 1 \). Окончательное ОДЗ: \( x > 1 \).
2. Упрощаем: По свойству логарифма \( \log_x x = 1 \) при \( x > 0, x \neq 1 \).
Уравнение принимает вид: \( \log_{\sqrt{7}} (x - 1) \cdot 1 = \log_{\sqrt{7}} x \).
\( \log_{\sqrt{7}} (x - 1) = \log_{\sqrt{7}} x \).
3. Приравниваем аргументы: \( x - 1 = x \).
\( -1 = 0 \).
4. Вывод: Получено ложное равенство, что означает отсутствие корней.

Ответ: Нет корней.

2) \( \log_{\frac{1}{3}} x \log_x (3x - 2) = \log_{\frac{1}{3}} (3x - 2) \)

Ответ

1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \), \( x \neq 1 \), \( 3x - 2 > 0 \). Окончательное ОДЗ: \( x \in (2/3; 1) \cup (1; +\infty) \).
2. Используем формулу перехода к новому основанию: Заметим, что \( \log_x (3x - 2) = \frac{\log_{\frac{1}{3}} (3x - 2)}{\log_{\frac{1}{3}} x} \).
3. Подставляем в уравнение:
\( \log_{\frac{1}{3}} x \cdot \frac{\log_{\frac{1}{3}} (3x - 2)}{\log_{\frac{1}{3}} x} = \log_{\frac{1}{3}} (3x - 2) \).
Так как \( x \neq 1 \), то \( \log_{\frac{1}{3}} x \neq 0 \), и можно сократить:
\( \log_{\frac{1}{3}} (3x - 2) = \log_{\frac{1}{3}} (3x - 2) \).
4. Вывод: Получено тождество, которое выполняется для всех значений \( x \) из ОДЗ.

Ответ: \( x \in (\frac{2}{3}; 1) \cup (1; +\infty) \).

3) \( \log_{\frac{2}{3}} (3x + 1) \log_{\frac{1}{3}} x = 2 \log_{\frac{2}{3}} (3x + 1) \)

Ответ

1. Находим ОДЗ: \( 3x + 1 > 0 \) и \( x > 0 \). Окончательное ОДЗ: \( x > 0 \).
2. Переносим все в левую часть и выносим общий множитель:
\( \log_{\frac{2}{3}} (3x + 1) \log_{\frac{1}{3}} x - 2 \log_{\frac{2}{3}} (3x + 1) = 0 \).
\( \log_{\frac{2}{3}} (3x + 1) \left( \log_{\frac{1}{3}} x - 2 \right) = 0 \).
3. Приравниваем каждый множитель к нулю:
Случай 1: \( \log_{\frac{2}{3}} (3x + 1) = 0 \).
\( 3x + 1 = (\frac{2}{3})^0 = 1 \).
\( 3x = 0 \). \( x = 0 \). (Не подходит по ОДЗ \( x > 0 \)).
Случай 2: \( \log_{\frac{1}{3}} x - 2 = 0 \).
\( \log_{\frac{1}{3}} x = 2 \).
\( x = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} \).
4. Проверяем ОДЗ: \( x = 1/9 \) удовлетворяет условию \( x > 0 \).

Ответ: \( x = \frac{1}{9} \).

4) \( \log_{\sqrt{3}} (x - 2) \log_5 x = 2 \log_3 (x - 2) \)

Ответ

1. Находим ОДЗ: \( x - 2 > 0 \) и \( x > 0 \). Окончательное ОДЗ: \( x > 2 \).
2. Преобразуем логарифм с основанием \( \sqrt{3} \):
\( \log_{\sqrt{3}} (x - 2) = \log_{3^{1/2}} (x - 2) = \frac{1}{1/2} \log_3 (x - 2) = 2 \log_3 (x - 2) \).
3. Подставляем в уравнение:
\( 2 \log_3 (x - 2) \log_5 x = 2 \log_3 (x - 2) \).
4. Переносим все в левую часть и выносим общий множитель:
\( 2 \log_3 (x - 2) \log_5 x - 2 \log_3 (x - 2) = 0 \).
\( 2 \log_3 (x - 2) (\log_5 x - 1) = 0 \).
5. Приравниваем множители к нулю:
Случай 1: \( \log_3 (x - 2) = 0 \).
\( x - 2 = 3^0 = 1 \). \( x = 3 \). (Подходит по ОДЗ).
Случай 2: \( \log_5 x - 1 = 0 \).
\( \log_5 x = 1 \). \( x = 5^1 = 5 \). (Подходит по ОДЗ).

Ответ: \( x_1 = 3, x_2 = 5 \).

Что применять при решении

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа \( a \) по основанию \( b \), где \( b > 0 \) и \( b \neq 1 \), называется показатель степени \( c \), в которую нужно возвести основание \( b \), чтобы получить число \( a \).

\( \log_b a = c \iff b^c = a \quad (a > 0, b > 0, b \neq 1) \)

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для уравнения с логарифмами необходимо проверить, чтобы все аргументы \( f(x) \) логарифмов \( \log_b f(x) \) удовлетворяли условию \( f(x) > 0 \).

\( \log_b f(x) \implies f(x) > 0 \)

Свойства логарифмов (преобразование суммы и разности)

Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов; разность — логарифму частного. При этом важно следить за равносильностью: преобразование суммы/разности в логарифм произведения/частного может расширить ОДЗ.

\( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \) (при \( x > 0, y > 0 \)); \( \log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y} \) (при \( x > 0, y > 0 \))

Формула перехода к новому основанию

Позволяет переходить от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию, что часто используется для приведения логарифмов к одному основанию или для замены переменной.

\( \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} \) и частный случай \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \)

Другие упражнения из параграфа § 19

336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4
Параграф: § 19 — Логарифмические уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.