ГДЗ: Упражнение 345 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

• 1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \).
• 2. Применяем свойство степеней: Объединяем множители с одинаковыми показателями:
  \( (2 \cdot 5)^{\lg x} = 1600 \).
  \( 10^{\lg x} = 1600 \).
• 3. Используем основное логарифмическое тождество: По определению десятичного логарифма, \( 10^{\lg x} = x \).
  \( x = 1600 \).
• 4. Проверяем ОДЗ: \( x = 1600 \) удовлетворяет условию \( x > 0 \).

Ответ: \( x = 1600 \).

• 1. Находим ОДЗ: \( x^2 > 0 \) и \( x > 0 \). Окончательное ОДЗ: \( x > 0 \).
• 2. Преобразуем первый множитель: Так как \( x > 0 \), \( \log_3 x^2 = 2 \log_3 x \).
  \( 2^{2 \log_3 x} = (2^2)^{\log_3 x} = 4^{\log_3 x} \).
• 3. Подставляем и упрощаем:
  \( 4^{\log_3 x} \cdot 5^{\log_3 x} = 400 \).
  \( (4 \cdot 5)^{\log_3 x} = 400 \).
  \( 20^{\log_3 x} = 400 \).
• 4. Решаем показательное уравнение: \( 20^{\log_3 x} = 20^2 \).
  \( \log_3 x = 2 \).
• 5. Находим \( x \): \( x = 3^2 = 9 \).
• 6. Проверяем ОДЗ: \( x = 9 \) удовлетворяет условию \( x > 0 \).

Ответ: \( x = 9 \).

• 1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \). Дополнительные ограничения:
  \( 1 + \lg x \neq 0 \Rightarrow \lg x \neq -1 \Rightarrow x \neq 0.1 \).
  \( 2 - \lg x \neq 0 \Rightarrow \lg x \neq 2 \Rightarrow x \neq 100 \).
• 2. Вводим замену: Пусть \( y = \lg x \).
  \( \frac{3}{1 + y} + \frac{2}{2 - y} = 1 \).
• 3. Приводим к общему знаменателю:
  \( 3(2 - y) + 2(1 + y) = (1 + y)(2 - y) \).
  \( 6 - 3y + 2 + 2y = 2 - y + 2y - y^2 \).
  \( 8 - y = 2 + y - y^2 \).
• 4. Решаем квадратное уравнение относительно \( y \):
  \( y^2 - 2y + 6 = 0 \).
  Находим дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4(1)(6) = 4 - 24 = -20 \).
• 5. Вывод: Так как дискриминант отрицателен, действительных корней нет.

Ответ: Нет корней.

• 1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \). Дополнительные ограничения:
  \( 1 - \lg x \neq 0 \Rightarrow x \neq 10 \).
  \( 5 - \lg x \neq 0 \Rightarrow x \neq 10^5 \).
• 2. Вводим замену: Пусть \( y = \lg x \).
  \( \frac{1}{1 - y} + \frac{2}{5 - y} = 1 \).
• 3. Приводим к общему знаменателю:
  \( 1(5 - y) + 2(1 - y) = (1 - y)(5 - y) \).
  \( 5 - y + 2 - 2y = 5 - y - 5y + y^2 \).
  \( 7 - 3y = 5 - 6y + y^2 \).
• 4. Решаем квадратное уравнение относительно \( y \):
  \( y^2 - 3y - 2 = 0 \).
  Находим дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17 \).
  \( y_{1, 2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \).
• 5. Обратная замена:
  \( \lg x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \Rightarrow x_1 = 10^{\frac{3 + \sqrt{17}}{2}} \).
  \( \lg x = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \Rightarrow x_2 = 10^{\frac{3 - \sqrt{17}}{2}} \).
  Оба корня положительны и удовлетворяют дополнительным ограничениям.

Ответ: \( x_1 = 10^{\frac{3 + \sqrt{17}}{2}}, x_2 = 10^{\frac{3 - \sqrt{17}}{2}} \).