ГДЗ: Упражнение 342 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

• 1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \) и \( y > 0 \).
• 2. Преобразуем первое уравнение: Используя свойство логарифма частного, \( \lg \frac{x}{y} = 2 \).
  По определению логарифма: \( \frac{x}{y} = 10^2 \).
  \( x = 100y \).
• 3. Подставляем выражение для \( x \) во второе уравнение:
  \( (100y) - 10y = 900 \).
  \( 90y = 900 \).
  \( y = 10 \).
• 4. Находим \( x \): \( x = 100y = 100 \cdot 10 = 1000 \).
• 5. Проверяем ОДЗ: \( x = 1000, y = 10 \) удовлетворяют условиям \( x > 0 \) и \( y > 0 \).

Ответ: \( (1000; 10) \).

• 1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \) и \( y > 0 \).
• 2. Преобразуем первое уравнение: Используя свойство логарифма произведения, \( \log_3 (xy) = 2 \).
  По определению логарифма: \( xy = 3^2 \).
  \( xy = 9 \) или \( y = \frac{9}{x} \) (так как \( x \neq 0 \) по ОДЗ).
• 3. Подставляем выражение для \( y \) во второе уравнение:
  \( x^2 - 2 \left( \frac{9}{x} \right) + 9 = 0 \).
  \( x^2 - \frac{18}{x} + 9 = 0 \).
• 4. Умножаем на \( x \) (так как \( x \neq 0 \)):
  \( x^3 + 9x - 18 = 0 \).
• 5. Решаем кубическое уравнение: Проверяя целые делители числа -18 (например, 1, 2, 3), находим, что нет простых рациональных корней. Функция \( f(x) = x^3 + 9x - 18 \) имеет единственный действительный корень \( x_0 \) (так как \( f'(x) = 3x^2 + 9 > 0 \)). Нахождение точного значения этого корня \( x_0 \) выходит за рамки стандартной школьной программы.
  Тем не менее, \( f(1) = -8 \) и \( f(2) = 8 \), значит, корень \( x_0 \) лежит между 1 и 2.
• 6. Ответ: Единственным решением системы является пара \( (x_0; y_0) \), где \( x_0 \) — единственный действительный корень уравнения \( x^3 + 9x - 18 = 0 \), а \( y_0 = \frac{9}{x_0} \).

Ответ: \( (x_0; \frac{9}{x_0}) \), где \( x_0 \) — корень уравнения \( x^3 + 9x - 18 = 0 \).