ГДЗ: Упражнение 338 - Параграф § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

338 упражнение:

Решить уравнение.

1) \( \lg (x - 1) - \lg (2x - 11) = \lg 2 \)

Ответ

1. Находим ОДЗ: \( x - 1 > 0 \) и \( 2x - 11 > 0 \). Таким образом, \( x > 1 \) и \( x > 5.5 \). Окончательное ОДЗ: \( x > 5.5 \).
2. Применяем свойство логарифма частного: \( \lg \frac{x - 1}{2x - 11} = \lg 2 \).
3. Приравниваем аргументы: \( \frac{x - 1}{2x - 11} = 2 \).
4. Решаем алгебраическое уравнение: \( x - 1 = 2(2x - 11) \). \( x - 1 = 4x - 22 \). \( 21 = 3x \). \( x = 7 \).
5. Проверяем ОДЗ: Корень \( x = 7 \) удовлетворяет условию \( x > 5.5 \).

Ответ: \( x = 7 \).

2) \( \lg (3x - 1) - \lg (x + 5) = \lg 5 \)

Ответ

1. Находим ОДЗ: \( 3x - 1 > 0 \) и \( x + 5 > 0 \). Таким образом, \( x > 1/3 \) и \( x > -5 \). Окончательное ОДЗ: \( x > 1/3 \).
2. Применяем свойство логарифма частного: \( \lg \frac{3x - 1}{x + 5} = \lg 5 \).
3. Приравниваем аргументы: \( \frac{3x - 1}{x + 5} = 5 \).
4. Решаем алгебраическое уравнение: \( 3x - 1 = 5(x + 5) \). \( 3x - 1 = 5x + 25 \). \( -26 = 2x \). \( x = -13 \).
5. Проверяем ОДЗ: Корень \( x = -13 \) не удовлетворяет условию \( x > 1/3 \).

Ответ: Нет корней.

3) \( \log_3 (x^3 - x) - \log_3 x = \log_3 3 \)

Ответ

1. Находим ОДЗ: \( x^3 - x > 0 \) и \( x > 0 \). Условие \( x^3 - x > 0 \) равносильно \( x(x - 1)(x + 1) > 0 \). С учетом \( x > 0 \), окончательное ОДЗ: \( x > 1 \).
2. Применяем свойство логарифма частного: \( \log_3 \frac{x^3 - x}{x} = \log_3 3 \).
3. Упрощаем аргумент и приравниваем: Так как \( x \neq 0 \) по ОДЗ, можно сократить: \( \frac{x(x^2 - 1)}{x} = 3 \).
\( x^2 - 1 = 3 \). \( x^2 = 4 \).
4. Решаем уравнение: Корни: \( x_1 = 2, x_2 = -2 \).
5. Проверяем ОДЗ: Корень \( x_1 = 2 \) подходит (\( 2 > 1 \)). Корень \( x_2 = -2 \) не подходит.

Ответ: \( x = 2 \).

Что применять при решении

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа \( a \) по основанию \( b \), где \( b > 0 \) и \( b \neq 1 \), называется показатель степени \( c \), в которую нужно возвести основание \( b \), чтобы получить число \( a \).

\( \log_b a = c \iff b^c = a \quad (a > 0, b > 0, b \neq 1) \)

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для уравнения с логарифмами необходимо проверить, чтобы все аргументы \( f(x) \) логарифмов \( \log_b f(x) \) удовлетворяли условию \( f(x) > 0 \).

\( \log_b f(x) \implies f(x) > 0 \)

Свойства логарифмов (преобразование суммы и разности)

Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов; разность — логарифму частного. При этом важно следить за равносильностью: преобразование суммы/разности в логарифм произведения/частного может расширить ОДЗ.

\( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \) (при \( x > 0, y > 0 \)); \( \log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y} \) (при \( x > 0, y > 0 \))

Формула перехода к новому основанию

Позволяет переходить от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию, что часто используется для приведения логарифмов к одному основанию или для замены переменной.

\( \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} \) и частный случай \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \)

Другие упражнения из параграфа § 19

336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4
Параграф: § 19 — Логарифмические уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.