ГДЗ: Упражнение 349 - § 19 (Логарифмические уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

• 1. Находим ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).
• 2. Преобразуем логарифмы к основанию \( x \):
  \( \log_x 9 \) остается.
  \( \log_{\sqrt{x}} 4 = \log_{x^{1/2}} 4 = \frac{1}{1/2} \log_x 4 = 2 \log_x 4 \).
• 3. Подставляем и упрощаем:
  \( \log_x 9 + 2 \log_x 4 = 2 \).
  \( \log_x 9 + \log_x 4^2 = 2 \).
  \( \log_x 9 + \log_x 16 = 2 \).
  \( \log_x (9 \cdot 16) = 2 \).
  \( \log_x 144 = 2 \).
• 4. Переходим к алгебраическому уравнению: \( x^2 = 144 \).
• 5. Решаем и проверяем ОДЗ: Корни: \( x = \pm 12 \).
  Подходит только \( x = 12 \) (так как \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \)).

Ответ: \( x = 12 \).

• 1. Примечание: Предполагаем, что логарифмы должны быть приведены к одинаковому аргументу для решения, как в предыдущем примере. Решим уравнение, предполагая, что 7 — это опечатка для \( 49 \) и цель — получить простой ответ, как это принято в учебниках. Или как в примере 349(1), где \( 9 \) и \( 4 \) объединились в \( 144 \).
  Решаем, как написано, преобразуя к основанию \( x \):
• 2. Находим ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).
• 3. Преобразуем логарифмы:
  \( \log_{x^2} 16 = \frac{1}{2} \log_x 16 = \log_x 4 \).
  \( \log_{\sqrt{x}} 7 = 2 \log_x 7 = \log_x 7^2 = \log_x 49 \).
• 4. Подставляем и упрощаем:
  \( \log_x 4 - \log_x 49 = 2 \).
  \( \log_x \frac{4}{49} = 2 \).
• 5. Переходим к алгебраическому уравнению: \( x^2 = \frac{4}{49} \).
• 6. Решаем и проверяем ОДЗ: Корни: \( x = \pm \frac{2}{7} \).
  Подходит только \( x = \frac{2}{7} \) (так как \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \)).

Ответ: \( x = \frac{2}{7} \).