ГДЗ: Упражнение 429 - § 23 (Определение синуса, косинуса и тангенса угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Синус угла \( \alpha \) — это ордината \( y \) точки \( P_{\alpha} \) на единичной окружности. Нам нужно найти точку, у которой ордината равна 1.

• На единичной окружности точка с ординатой \( y = 1 \) — это точка \( (0; 1) \), которая соответствует углу \( \alpha = \frac{\pi}{2} \) (или 90°) и всем углам, отличающимся от него на целое число полных оборотов \( 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: Точка \( (0; 1) \), соответствующая углам \( \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).

Пояснение: Синус угла \( \alpha \) — это ордината \( y \) точки \( P_{\alpha} \) на единичной окружности. Нам нужно найти точки, у которых ордината равна 0.

• На единичной окружности точки с ординатой \( y = 0 \) — это точки \( (1; 0) \) и \( (-1; 0) \), которые соответствуют углам \( \alpha = 0 \) и \( \alpha = \pi \) (или 180°), а также всем углам, отличающимся от них на целое число полных оборотов. Обе эти точки объединяются в формуле \( \alpha = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: Точки \( (1; 0) \) и \( (-1; 0) \), соответствующие углам \( \alpha = \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).

Пояснение: Косинус угла \( \alpha \) — это абсцисса \( x \) точки \( P_{\alpha} \) на единичной окружности. Нам нужно найти точку, у которой абсцисса равна -1.

• На единичной окружности точка с абсциссой \( x = -1 \) — это точка \( (-1; 0) \), которая соответствует углу \( \alpha = \pi \) (или 180°) и всем углам, отличающимся от него на целое число полных оборотов \( 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: Точка \( (-1; 0) \), соответствующая углам \( \alpha = \pi + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).

Пояснение: Косинус угла \( \alpha \) — это абсцисса \( x \) точки \( P_{\alpha} \) на единичной окружности. Нам нужно найти точки, у которых абсцисса равна 0.

• На единичной окружности точки с абсциссой \( x = 0 \) — это точки \( (0; 1) \) и \( (0; -1) \), которые соответствуют углам \( \alpha = \frac{\pi}{2} \) (или 90°) и \( \alpha = -\frac{\pi}{2} \) (или 270°), а также всем углам, отличающимся от них на целое число полных оборотов. Обе эти точки объединяются в формуле \( \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: Точки \( (0; 1) \) и \( (0; -1) \), соответствующие углам \( \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).

Пояснение: Синус угла \( \alpha \) — это ордината \( y \) точки \( P_{\alpha} \) на единичной окружности. Нам нужно найти точки, у которых ордината \( y = -0,6 \).

• На единичной окружности проводим горизонтальную прямую \( y = -0,6 \). Эта прямая пересечет окружность в двух точках, симметричных относительно оси ординат.
• Одна точка находится в III четверти, другая — в IV четверти.
• Эти точки соответствуют углам \( \alpha_1 = \arcsin(-0,6) + 2\pi k \) и \( \alpha_2 = \pi - \arcsin(-0,6) + 2\pi k \) (или \( \alpha_2 = -\pi - \arcsin(-0,6) + 2\pi k \)).

Ответ: Две точки на единичной окружности с ординатой \( y = -0,6 \), расположенные в III и IV четвертях.

Пояснение: Синус угла \( \alpha \) — это ордината \( y \) точки \( P_{\alpha} \) на единичной окружности. Нам нужно найти точки, у которых ордината \( y = 0,5 \).

• На единичной окружности проводим горизонтальную прямую \( y = 0,5 \). Эта прямая пересечет окружность в двух точках, симметричных относительно оси ординат.
• Эти точки соответствуют углам \( \alpha_1 = \frac{\pi}{6} \) (или 30°) и \( \alpha_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \) (или 150°), а также всем углам, отличающимся от них на \( 2\pi k \).

Ответ: Две точки на единичной окружности с ординатой \( y = 0,5 \), соответствующие углам \( \alpha = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).

Пояснение: Косинус угла \( \alpha \) — это абсцисса \( x \) точки \( P_{\alpha} \) на единичной окружности. Нам нужно найти точки, у которых абсцисса \( x = -\frac{1}{3} \).

• На единичной окружности проводим вертикальную прямую \( x = -\frac{1}{3} \). Эта прямая пересечет окружность в двух точках, симметричных относительно оси абсцисс.
• Эти точки находятся во II и III четвертях и соответствуют углам \( \alpha_1 = \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k \) и \( \alpha_2 = -\arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k \).

Ответ: Две точки на единичной окружности с абсциссой \( x = -\frac{1}{3} \), расположенные во II и III четвертях.