А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
438 упражнение:
Найти значение выражения:
1)
\( \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{6} \)
Ответ
Пояснение: Используем табличные значения.
\( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставляем: \( (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \). Умножаем: \( \frac{2}{4} - \frac{3}{4} \). Вычитаем: \( \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4} \). Ответ: \( -\frac{1}{4} \)
2)
\( 2 \tg^2 \frac{\pi}{6} - \ctg^2 \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{3} \)
Ответ
Пояснение: Используем табличные значения.
\( \tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), \( \tg^2 \frac{\pi}{6} = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} \). \( \ctg \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), \( \ctg^2 \frac{\pi}{3} = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} \). \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \). \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \). Подставляем: \( 2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{1}{2} \). Упрощаем: \( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \). Приводим к общему знаменателю: \( \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6} \). Ответ: \( -\frac{1}{6} \)
3)
\( (\tg \frac{\pi}{4} - \ctg \frac{\pi}{4}) (\ctg \frac{\pi}{6} + \tg \frac{\pi}{6}) \)
Ответ
Пояснение: Используем табличные значения.
\( \tg \frac{\pi}{4} = 1 \), \( \ctg \frac{\pi}{4} = 1 \). \( \ctg \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \), \( \tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Вычисляем первую скобку: \( \tg \frac{\pi}{4} - \ctg \frac{\pi}{4} = 1 - 1 = 0 \). Так как первый множитель равен 0, то произведение равно 0. (Для справки, вторая скобка: \( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3+1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \)). Итоговое выражение: \( 0 \cdot (\frac{4}{\sqrt{3}}) = 0 \). Ответ: \( 0 \)
4)
\( 2 \cos^2 \frac{\pi}{6} - \sin^2 \frac{\pi}{3} + \tg \frac{\pi}{4} \ctg \frac{\pi}{3} \)
Ответ
Пояснение: Используем табличные значения.
\( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos^2 \frac{\pi}{6} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} \). \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin^2 \frac{\pi}{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} \). \( \tg \frac{\pi}{4} = 1 \). \( \ctg \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Подставляем: \( 2 \cdot \frac{3}{4} - \frac{3}{4} + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \). Упрощаем: \( \frac{6}{4} - \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{3}} \). Приводим к общему знаменателю (\( 4\sqrt{3} \)): \( \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} + \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} + 4}{4\sqrt{3}} \). (Обычно оставляют в виде \( \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \)). Ответ: \( \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{3}} \) (или \( \frac{3\sqrt{3} + 4}{4\sqrt{3}} \))
Что применять при решении
Определение синуса угла
Синусом угла \( \alpha \) называется ордината точки, полученной поворотом точки \( (1; 0) \) вокруг начала координат на угол \( \alpha \) (обозначается \( \sin \alpha \)).
Для точки \( P_{\alpha} = (x; y) \) на единичной окружности: \( \sin \alpha = y \)
Определение косинуса угла
Косинусом угла \( \alpha \) называется абсцисса точки, полученной поворотом точки \( (1; 0) \) вокруг начала координат на угол \( \alpha \) (обозначается \( \cos \alpha \)).
Для точки \( P_{\alpha} = (x; y) \) на единичной окружности: \( \cos \alpha = x \)
Определение тангенса угла
Тангенсом угла \( \alpha \) называется отношение синуса угла к его косинусу, т.е. \( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
\( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), при условии, что \( \cos \alpha \ne 0 \)
Основные тригонометрические тождества и формулы приведения
Для вычисления и упрощения выражений используются формулы приведения. Некоторые основные формулы, использованные в решениях:
\( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \) \( \cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha \) \( \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) \( \tg (\pi + \alpha) = \tg \alpha \) \( \sin (-\alpha) = -\sin \alpha \) \( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \) \( \tg (-\alpha) = -\tg \alpha \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 23
Глава
Глава 5
Параграф
§ 23 — Определение синуса, косинуса и тангенса угла
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
