ГДЗ: Упражнение 431 - § 23 (Определение синуса, косинуса и тангенса угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Угол \( 3\pi \) можно представить как \( \pi + 2\pi \). Это означает, что точка на единичной окружности, соответствующая углу \( 3\pi \), совпадает с точкой, соответствующей углу \( \pi \).

• \( \sin 3\pi = \sin (\pi + 2\pi) = \sin \pi = 0 \).
• \( \cos 3\pi = \cos (\pi + 2\pi) = \cos \pi = -1 \).

Ответ: \( \sin 3\pi = 0 \); \( \cos 3\pi = -1 \)

Пояснение: Угол \( 4\pi \) можно представить как \( 0 + 2 \cdot 2\pi \). Это означает, что точка на единичной окружности, соответствующая углу \( 4\pi \), совпадает с точкой, соответствующей углу \( 0 \).

• \( \sin 4\pi = \sin (0 + 2 \cdot 2\pi) = \sin 0 = 0 \).
• \( \cos 4\pi = \cos (0 + 2 \cdot 2\pi) = \cos 0 = 1 \).

Ответ: \( \sin 4\pi = 0 \); \( \cos 4\pi = 1 \)

Пояснение: Угол \( 3,5\pi = \frac{7\pi}{2} \) можно представить как \( \frac{3\pi}{2} + 2\pi \) или \( -\frac{\pi}{2} + 4\pi \). Точка совпадает с точкой, соответствующей углу \( \frac{3\pi}{2} \) или \( -\frac{\pi}{2} \).

• \( \sin 3,5\pi = \sin (\frac{7\pi}{2}) = \sin (\frac{3\pi}{2} + 2\pi) = \sin \frac{3\pi}{2} = -1 \).
• \( \cos 3,5\pi = \cos (\frac{7\pi}{2}) = \cos (\frac{3\pi}{2} + 2\pi) = \cos \frac{3\pi}{2} = 0 \).

Ответ: \( \sin 3,5\pi = -1 \); \( \cos 3,5\pi = 0 \)

Пояснение: Угол \( \frac{5\pi}{2} \) можно представить как \( \frac{\pi}{2} + 2\pi \). Точка совпадает с точкой, соответствующей углу \( \frac{\pi}{2} \).

• \( \sin \frac{5\pi}{2} = \sin (\frac{\pi}{2} + 2\pi) = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \).
• \( \cos \frac{5\pi}{2} = \cos (\frac{\pi}{2} + 2\pi) = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \).

Ответ: \( \sin \frac{5\pi}{2} = 1 \); \( \cos \frac{5\pi}{2} = 0 \)

Пояснение: \( \pi k \) — это углы, соответствующие точкам \( (1; 0) \) при четном \( k \) (\( 2n\pi \)) и \( (-1; 0) \) при нечетном \( k \) (\( \pi + 2n\pi \)).

• Для \( \sin \pi k \): В обоих случаях ордината точки равна 0. \( \sin \pi k = 0 \).
• Для \( \cos \pi k \): При четном \( k \) косинус равен 1, при нечетном \( k \) косинус равен -1. Это можно записать как \( \cos \pi k = (-1)^k \).

Ответ: \( \sin \pi k = 0 \); \( \cos \pi k = (-1)^k \)

Пояснение: \( (2k + 1)\pi = 2k\pi + \pi \) — это углы, соответствующие только точке \( (-1; 0) \) (нечетное число \( \pi \)).

• \( \sin (2k + 1)\pi = \sin (\pi + 2k\pi) = \sin \pi = 0 \).
• \( \cos (2k + 1)\pi = \cos (\pi + 2k\pi) = \cos \pi = -1 \).

Ответ: \( \sin (2k + 1)\pi = 0 \); \( \cos (2k + 1)\pi = -1 \)