ГДЗ: Упражнение 923 - § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Используя график функции \( y = f(x) \) (рис. 136), найти:
1)
область определения и множество значений функции;
Ответ
Шаг 1: Область определения.
Область определения функции \( D(f) \) — это проекция графика на ось абсцисс (ось \( x \)). Из графика (Рис. 136) видно, что функция определена для всех \( x \) от -7 до 7, включая концы интервала.
Ответ: \( D(f) = [-7; 7] \).
Шаг 2: Множество значений.
Множество значений функции \( E(f) \) — это проекция графика на ось ординат (ось \( y \)). Из графика видно, что наименьшее значение функции равно -2 (достигается в точках \( x \approx -6 \) и \( x \approx 4 \)), а наибольшее значение равно 2 (достигается в точках \( x \approx -3 \) и \( x \approx 6 \)).
Ответ: \( E(f) = [-2; 2] \).
2)
нули функции;
Ответ
Шаг 1: Определение нулей функции.
Нули функции — это значения \( x \), при которых \( f(x) = 0 \), то есть точки пересечения графика с осью \( x \).
Шаг 2: Анализ графика.
На графике (Рис. 136) видно, что график пересекает ось \( x \) в точках \( x = -7 \), \( x = -5 \), \( x = -1 \), \( x = 2 \) и \( x = 7 \).
Ответ: Нули функции: \( x = -7, -5, -1, 2, 7 \).
3)
промежутки возрастания и убывания функции;
Ответ
Шаг 1: Определение промежутков возрастания.
Функция возрастает, когда при увеличении \( x \) значение \( f(x) \) также увеличивается (график идет "вверх" при движении слева направо). На графике это происходит на интервалах \( [-7; -3] \) и \( [4; 6] \).
Функция убывает, когда при увеличении \( x \) значение \( f(x) \) уменьшается (график идет "вниз" при движении слева направо). На графике это происходит на интервалах \( [-3; 4] \) и \( [6; 7] \).
4)
значения \( x \), при которых функция принимает положительные, отрицательные значения;
Ответ
Шаг 1: Положительные значения (\( f(x) > 0 \)).
Функция принимает положительные значения, когда график находится выше оси \( x \). Это происходит на интервалах \( (-7; -5) \), \( (-1; 2) \) и \( (7; 7) \) — последний интервал является точкой, не интервалом, но на графике (Рис. 136) точка \( x=7 \) является концом, и в ней \( f(7)=0 \), поэтому интервал будет \( (-1; 2) \). Однако, между \( x=2 \) и \( x=7 \) есть точка \( x \approx 6 \) в которой \( f(6)=2 \). Верное чтение графика: положительные значения на \( (-7; -5) \) и \( (-1; 2) \) и \( (2; 7) \) – но при \( x=7 \) значение \( 0 \). Более точно: \( f(x) > 0 \) на \( (-7; -5) \) и \( (-1; 2) \) и \( (2; 7) \). Корректное чтение графика: \( (-7; -5) \) и \( (-1; 2) \) и \( (2; 7] \) (на конце \( x=7 \) значение 0, поэтому интервал \( (2; 7) \)).
Ответ: \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-7; -5) \) и \( x \in (-1; 2) \) и \( x \in (2; 7) \).
Шаг 2: Отрицательные значения (\( f(x) < 0 \)).
Функция принимает отрицательные значения, когда график находится ниже оси \( x \). Это происходит на интервалах \( (-5; -1) \) и \( (2; 7) \). (Но \( x=2 \) и \( x=7 \) – нули, поэтому \( (-5; -1) \) и \( (2; 7) \) ).
Ответ: \( f(x) < 0 \) при \( x \in (-5; -1) \).
Примечание: График в точке \( x=2 \) касается оси \( x \) и не переходит в отрицательную область, что противоречит нулям \( x=-1 \), \( x=2 \) и \( x=7 \). Скорее всего, нули: \( x=-7, -5, -1, 2, 7 \). Но между \( x=2 \) и \( x=7 \) график выше оси \( x \), что означает, что \( x=2 \) и \( x=7 \) – нули, а \( (-1; 2) \) и \( (2; 7) \) – положительны. Учитывая это, \( f(x) < 0 \) только на \( (-5; -1) \).
5)
экстремумы функции.
Ответ
Шаг 1: Определение точек экстремума.
Точки экстремума — это точки максимума и минимума, в которых функция меняет монотонность.
Шаг 2: Нахождение точек максимума.
Точки максимума — это "вершины", где функция меняет возрастание на убывание. На графике это происходит в точке \( x = -3 \) (\( f(-3) = 2 \)) и \( x = 6 \) (\( f(6) = 2 \)).
Ответ: Точки максимума: \( x = -3 \) и \( x = 6 \). Максимум функции: \( 2 \).
Шаг 3: Нахождение точек минимума.
Точки минимума — это "впадины", где функция меняет убывание на возрастание. На графике это происходит в точке \( x = 4 \) (\( f(4) = -2 \)). (Концевые точки \( x=-7 \) и \( x=7 \) являются граничными экстремумами: \( f(-7)=0 \), \( f(7)=0 \), но в рамках базового анализа экстремумов их можно не включать, если не указано обратное).
Ответ: Точка минимума: \( x = 4 \). Минимум функции: \( -2 \).
Что применять при решении
Признак возрастания/убывания функции
Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.
Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.
Точки экстремума
Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.
Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
