ГДЗ: Упражнение 929 - § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
На рисунке 137 изображён график функции \( y = g(x) \), являющейся производной функции \( y = f(x) \). Используя график, найти точки экстремума функции \( y = f(x) \).
1)
Ответ
Шаг 1: Определение точек экстремума.
Точки экстремума функции \( y = f(x) \) — это те точки \( x \), в которых ее производная \( y = g(x) \) меняет свой знак (проходя через нуль).
Шаг 2: Анализ графика производной \( y = g(x) \) (Рис. 137).
Нули производной \( g(x) = 0 \) находятся в точках пересечения графика с осью \( x \): \( x = -3 \), \( x = -1 \), \( x = 1 \) и \( x = 5 \).
Шаг 3: Проверка смены знака.
\( x = -3 \): При переходе через \( x = -3 \) слева направо, \( g(x) \) меняет знак с \( - \) (график ниже оси \( x \)) на \( + \) (график выше оси \( x \)). Это точка минимума функции \( f(x) \).
\( x = -1 \): При переходе через \( x = -1 \) слева направо, \( g(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Это точка максимума функции \( f(x) \).
\( x = 1 \): При переходе через \( x = 1 \) слева направо, \( g(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \). Это точка минимума функции \( f(x) \).
\( x = 5 \): При переходе через \( x = 5 \) слева направо, \( g(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Это точка максимума функции \( f(x) \).
Ответ: Точки экстремума функции \( f(x) \):
Точки минимума: \( x = -3 \) и \( x = 1 \).
Точки максимума: \( x = -1 \) и \( x = 5 \).
Что применять при решении
Признак возрастания/убывания функции
Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.
Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.
Точки экстремума
Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.
Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
