ГДЗ: Упражнение 930 - Параграф § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

930 упражнение:

Построить график функции \( (930-933) \):

1) \( y = 2 + 5x^3 - 3x^5 \);

Ответ

Шаг 1: Производная и критические точки.

\( y' = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1 - x^2) = 15x^2(1 - x)(1 + x) \).

Критические точки: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 1 \).

Шаг 2: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( x^2 \) не меняет знак, поэтому знак \( y' \) определяется выражением \( 1 - x^2 \).

\( (-\infty; -1) \): \( y' < 0 \). Убывает.

\( (-1; 0) \): \( y' > 0 \). Возрастает. (Т.к. \( 1 - x^2 > 0 \)).

\( (0; 1) \): \( y' > 0 \). Возрастает. (Т.к. \( 1 - x^2 > 0 \)).

\( (1; +\infty) \): \( y' < 0 \). Убывает.

Экстремумы:

\( x = -1 \): смена с \( - \) на \( + \) \( \implies \) минимум. \( y(-1) = 2 + 5(-1) - 3(-1) = 2 - 5 + 3 = 0 \).
\( x = 0 \): нет экстремума (знак не меняется), но горизонтальная касательная. \( y(0) = 2 \).
\( x = 1 \): смена с \( + \) на \( - \) \( \implies \) максимум. \( y(1) = 2 + 5 - 3 = 4 \).

Эскиз: Убывает до \( (-1; 0) \) (минимум, нуль), возрастает через \( (0; 2) \) (точка перегиба) до \( (1; 4) \) (максимум), затем убывает.

2) \( y = 3x^5 - 5x^3 \);

Ответ

Шаг 1: Производная и критические точки.

\( y' = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2(x^2 - 1) = 15x^2(x - 1)(x + 1) \).

Критические точки: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 1 \).

Шаг 2: Интервалы монотонности и экстремумы.

Знак \( y' \) определяется выражением \( x^2 - 1 \).

\( (-\infty; -1) \): \( y' > 0 \). Возрастает.

\( (-1; 0) \): \( y' < 0 \). Убывает.

\( (0; 1) \): \( y' < 0 \). Убывает.

\( (1; +\infty) \): \( y' > 0 \). Возрастает.

Экстремумы:

\( x = -1 \): смена с \( + \) на \( - \) \( \implies \) максимум. \( y(-1) = 3(-1) - 5(-1) = -3 + 5 = 2 \).
\( x = 0 \): нет экстремума (знак не меняется). \( y(0) = 0 \).
\( x = 1 \): смена с \( - \) на \( + \) \( \implies \) минимум. \( y(1) = 3 - 5 = -2 \).

Эскиз: Возрастает до \( (-1; 2) \) (максимум), убывает через \( (0; 0) \) (нуль, точка перегиба) до \( (1; -2) \) (минимум), затем возрастает.

3) \( y = 4x^5 - 5x^4 \);

Ответ

Шаг 1: Производная и критические точки.

\( y' = 20x^4 - 20x^3 = 20x^3(x - 1) \).

Критические точки: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 1 \).

Шаг 2: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( (-\infty; 0) \): \( y' > 0 \). (Т.к. \( x^3 < 0 \) и \( x-1 < 0 \) \( \implies \) \( y' > 0 \)). Возрастает.

\( (0; 1) \): \( y' < 0 \). (Т.к. \( x^3 > 0 \) и \( x-1 < 0 \) \( \implies \) \( y' < 0 \)). Убывает.

\( (1; +\infty) \): \( y' > 0 \). (Т.к. \( x^3 > 0 \) и \( x-1 > 0 \) \( \implies \) \( y' > 0 \)). Возрастает.

Экстремумы:

\( x = 0 \): смена с \( + \) на \( - \) \( \implies \) максимум. \( y(0) = 0 \).
\( x = 1 \): смена с \( - \) на \( + \) \( \implies \) минимум. \( y(1) = 4 - 5 = -1 \).

Эскиз: Возрастает до \( (0; 0) \) (максимум, нуль), убывает до \( (1; -1) \) (минимум), затем возрастает.

4) \( y = \frac{1}{10} x^5 - \frac{5}{2} x^3 + 2x + 2 \).

Ответ

Шаг 1: Производная и критические точки.

\( y' = \frac{5}{10} x^4 - \frac{15}{2} x^2 + 2 = \frac{1}{2} x^4 - \frac{15}{2} x^2 + 2 \).

\( 2y' = x^4 - 15x^2 + 4 = 0 \). Биквадратное уравнение. Пусть \( z = x^2 \). \( z^2 - 15z + 4 = 0 \).

Дискриминант \( D = 15^2 - 4(4) = 225 - 16 = 209 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{209} \approx 14.46 \).

\( z_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{209}}{2} \). \( z_1 = x_1^2 \approx 0.269 \), \( z_2 = x_2^2 \approx 14.73 \).

Четыре критические точки: \( x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{15 - \sqrt{209}}{2}} \) (близки к \( \pm 0.5 \)) и \( x_{3,4} = \pm \sqrt{\frac{15 + \sqrt{209}}{2}} \) (близки к \( \pm 3.8 \)).

Шаг 2: Интервалы монотонности и экстремумы.

График \( y' \) имеет форму параболы, ветви которой направлены вверх. Знаки \( y' \): \( + \), \( - \), \( + \), \( - \), \( + \).

Будет два максимума (для отрицательных \( x \) и положительных \( x \)) и два минимума (для \( x=0 \) и \( x \approx \pm 3.8 \)). (Корректно: два минимума и два максимума, чередующиеся).

Эскиз: Начинается снизу, имеет локальный минимум, локальный максимум, локальный минимум, локальный максимум, уходит вверх. 4 экстремума.

Что применять при решении

Признак возрастания/убывания функции

Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.

Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.

Точки экстремума

Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.

Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).

Другие упражнения из параграфа § 51

923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 9
Параграф: § 51 — Применение производной к построению графиков функций
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.