ГДЗ: Упражнение 931 - § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Так как \( y' = -\left( \frac{4}{x^2} + 1 \right) < 0 \) для всех \( x \ne 0 \), функция убывает на \( (-\infty; 0) \) и на \( (0; +\infty) \).
Экстремумов нет.
Эскиз: Две ветви, убывающие на своих областях определения. Нули функции: \( \frac{4}{x} - x = 0 \) \( \implies \) \( 4 = x^2 \) \( \implies \) \( x = \pm 2 \). Асимптоты \( x=0 \) и \( y=-x \).
3)
\( y = x - \frac{1}{\sqrt{x}} \).
Ответ
Шаг 1: Область определения и асимптоты.
\( D(y): x > 0 \) (так как \( \sqrt{x} \) в знаменателе).
Вертикальная асимптота: \( x = 0 \). \( \lim_{x \to 0^+} y = -\infty \).
Шаг 2: Производная и критические точки.
\( y = x - x^{-1/2} \). \( y' = 1 - (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^3}} \).
Поскольку \( \frac{1}{2\sqrt{x^3}} > 0 \) для \( x > 0 \), то \( y' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^3}} > 1 \) для всех \( x > 0 \).
Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.
\( y' > 0 \) для всех \( x > 0 \). Функция возрастает на всей области определения \( (0; +\infty) \).
Экстремумов нет.
Дополнительные точки (нули функции): \( x - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \) \( \implies \) \( x = \frac{1}{\sqrt{x}} \) \( \implies \) \( x\sqrt{x} = 1 \) \( \implies \) \( x^{3/2} = 1 \) \( \implies \) \( x = 1 \). \( y(1) = 0 \).
Эскиз: График начинается от \( -\infty \) при \( x \to 0^+ \), возрастает, пересекает ось \( x \) в \( x=1 \), и продолжает возрастать.
Что применять при решении
Признак возрастания/убывания функции
Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.
Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.
Точки экстремума
Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.
Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
