ГДЗ: Упражнение 928 - Параграф § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

928 упражнение:

Построить график функции:

1) \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) на отрезке \( [-1; 3] \);

Ответ

Шаг 1: Производная и критические точки.

\( y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \). Критические точки: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \). Обе входят в отрезок \( [-1; 3] \).

Шаг 2: Интервалы монотонности и экстремумы на \( [-1; 3] \).

На \( [-1; 0] \): \( y' > 0 \) (возрастает). \( x = 0 \) — максимум. \( y(0) = 2 \).

На \( [0; 2] \): \( y' < 0 \) (убывает). \( x = 2 \) — минимум. \( y(2) = 8 - 12 + 2 = -2 \).

На \( [2; 3] \): \( y' > 0 \) (возрастает).

Шаг 3: Значения на концах отрезка.

\( y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 \).

\( y(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2 \).

Эскиз: Начинается в \( (-1; -2) \) (минимум на границе), возрастает до \( (0; 2) \) (максимум), убывает до \( (2; -2) \) (минимум), возрастает до \( (3; 2) \) (максимум на границе).

2) \( y = x^4 - 10x^2 + 9 \) на отрезке \( [-3; 3] \).

Ответ

Шаг 1: Производная и критические точки.

\( y' = 4x^3 - 20x = 4x(x^2 - 5) = 4x(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) \).

Критические точки: \( x_1 = -\sqrt{5} \approx -2.236 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = \sqrt{5} \approx 2.236 \). Все входят в отрезок \( [-3; 3] \).

Шаг 2: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( y' \) имеет знаки: \( - \) (убыв.), \( + \) (возр.), \( - \) (убыв.), \( + \) (возр.).

Экстремумы:

\( x = \pm\sqrt{5} \): минимумы. \( y(\pm\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 - 10(\sqrt{5})^2 + 9 = 25 - 50 + 9 = -16 \).
\( x = 0 \): максимум. \( y(0) = 9 \).

Шаг 3: Значения на концах отрезка.

\( y(\pm 3) = (-3)^4 - 10(-3)^2 + 9 = 81 - 90 + 9 = 0 \).

Эскиз: Начинается в \( (-3; 0) \), убывает до \( (-\sqrt{5}; -16) \) (минимум), возрастает до \( (0; 9) \) (максимум), убывает до \( (\sqrt{5}; -16) \) (минимум), возрастает до \( (3; 0) \) (нуль на границе).

Что применять при решении

Признак возрастания/убывания функции

Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.

Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.

Точки экстремума

Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.

Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).

Другие упражнения из параграфа § 51

923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 9
Параграф: § 51 — Применение производной к построению графиков функций
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.