ГДЗ: Упражнение 924 - § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Построить эскиз графика функции \( y = f(x) \), непрерывной на отрезке \( [a; b] \), если:
1)
\( a = -2 \), \( b = 4 \), \( f(-2) = -2 \), \( y = f(x) \) возрастает на отрезке \( [-2; 1] \) и \( f(x) = x \) при \( 1 \le x \le 4 \);
Ответ
Шаг 1: Анализ исходных данных.
Функция \( y = f(x) \) непрерывна на \( [-2; 4] \).
Начальная точка: \( f(-2) = -2 \).
На отрезке \( [1; 4] \) функция задана как \( f(x) = x \).
На отрезке \( [-2; 1] \) функция возрастает.
Шаг 2: Построение части графика на \( [1; 4] \).
Если \( f(x) = x \) при \( 1 \le x \le 4 \), то:
\( f(1) = 1 \).
\( f(4) = 4 \).
Шаг 3: Построение части графика на \( [-2; 1] \).
Начальная точка \( (-2; -2) \), конечная точка этой части \( (1; 1) \).
Функция должна возрастать на \( [-2; 1] \). Можно соединить эти точки, например, отрезком прямой или любой кривой, которая монотонно возрастает (например, частью параболы или кубической параболы, идущей вверх).
Эскиз: График начинается в \( (-2; -2) \), возрастает до \( (1; 1) \), а затем идет как прямая \( y=x \) до \( (4; 4) \).
2)
\( a = 1 \), \( b = 7 \), \( f(7) = 1 \), \( y = f(x) \) убывает на отрезке \( [2; 7] \), \( f(x) = x^2 \) при \( 1 \le x \le 2 \);
Ответ
Шаг 1: Анализ исходных данных.
Функция \( y = f(x) \) непрерывна на \( [1; 7] \).
Конечная точка: \( f(7) = 1 \).
На отрезке \( [1; 2] \) функция задана как \( f(x) = x^2 \).
На отрезке \( [2; 7] \) функция убывает.
Шаг 2: Построение части графика на \( [1; 2] \).
Если \( f(x) = x^2 \) при \( 1 \le x \le 2 \), то:
Начальная точка: \( f(1) = 1^2 = 1 \).
Конечная точка: \( f(2) = 2^2 = 4 \).
На этом отрезке график идет как часть параболы, он возрастает.
Шаг 3: Построение части графика на \( [2; 7] \).
Начальная точка \( (2; 4) \), конечная точка \( (7; 1) \).
Функция должна убывать на \( [2; 7] \). Можно соединить эти точки, например, отрезком прямой или любой кривой, которая монотонно убывает (например, частью параболы или экспоненциальной функции, идущей вниз).
Эскиз: График начинается в \( (1; 1) \), идет как парабола \( y=x^2 \) до \( (2; 4) \) (возрастание), а затем монотонно убывает до \( (7; 1) \).
Что применять при решении
Признак возрастания/убывания функции
Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.
Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.
Точки экстремума
Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.
Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
