ГДЗ: Упражнение 932 - Параграф § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

932 упражнение:

Построить график функции:

1) \( y = xe^{-x} \);

Ответ

Шаг 1: Область определения и асимптоты.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Горизонтальная асимптота: \( \lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0 \) (по правилу Лопиталя). \( y = 0 \) при \( x \to +\infty \).

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} (1 - x) \).

\( y' = 0 \) \( \implies \) \( 1 - x = 0 \) \( \implies \) \( x = 1 \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( (-\infty; 1) \): \( e^{-x} > 0 \), \( 1 - x > 0 \) \( \implies \) \( y' > 0 \). Возрастает.

\( (1; +\infty) \): \( e^{-x} > 0 \), \( 1 - x < 0 \) \( \implies \) \( y' < 0 \). Убывает.

Экстремум: \( x = 1 \) — максимум. \( y(1) = 1 \cdot e^{-1} = 1/e \approx 0.37 \).

Эскиз: Начинается снизу, возрастает до \( (1; 1/e) \), затем убывает, приближаясь к оси \( x \) (асимптота \( y=0 \)). Нуль функции: \( y(0) = 0 \).

2) \( y = xe^{x} \);

Ответ

Шаг 1: Область определения и асимптоты.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Горизонтальная асимптота: \( \lim_{x \to -\infty} xe^{x} = 0 \) (по правилу Лопиталя). \( y = 0 \) при \( x \to -\infty \).

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = e^{x} (1 + x) \).

\( y' = 0 \) \( \implies \) \( 1 + x = 0 \) \( \implies \) \( x = -1 \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( (-\infty; -1) \): \( e^{x} > 0 \), \( 1 + x < 0 \) \( \implies \) \( y' < 0 \). Убывает.

\( (-1; +\infty) \): \( e^{x} > 0 \), \( 1 + x > 0 \) \( \implies \) \( y' > 0 \). Возрастает.

Экстремум: \( x = -1 \) — минимум. \( y(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -1/e \approx -0.37 \).

Эскиз: Начинается от \( 0 \) (асимптота \( y=0 \)), убывает до \( (-1; -1/e) \) (минимум), затем возрастает, уходя к \( +\infty \). Нуль функции: \( y(0) = 0 \).

3) \( y = e^{x^2} \);

Ответ

Шаг 1: Область определения.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Функция четная.

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = e^{x^2} \cdot 2x \).

\( y' = 0 \) \( \implies \) \( 2x = 0 \) \( \implies \) \( x = 0 \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( (-\infty; 0) \): \( y' < 0 \). Убывает.

\( (0; +\infty) \): \( y' > 0 \). Возрастает.

Экстремум: \( x = 0 \) — минимум. \( y(0) = e^0 = 1 \).

Эскиз: График симметричен относительно оси \( y \), имеет форму "параболы", открытой вверх. Минимум в \( (0; 1) \). Уходит к \( +\infty \) при \( x \to \pm\infty \).

4) \( y = e^{-x^2} \).

Ответ

Шаг 1: Область определения.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Функция четная.

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = e^{-x^2} \cdot (-2x) \).

\( y' = 0 \) \( \implies \) \( -2x = 0 \) \( \implies \) \( x = 0 \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( (-\infty; 0) \): \( y' > 0 \). Возрастает.

\( (0; +\infty) \): \( y' < 0 \). Убывает.

Экстремум: \( x = 0 \) — максимум. \( y(0) = e^0 = 1 \).

Эскиз: График симметричен относительно оси \( y \), имеет форму "колокола" (распределение Гаусса). Максимум в \( (0; 1) \). При \( x \to \pm\infty \) стремится к \( 0 \) (горизонтальная асимптота \( y=0 \)).

Что применять при решении

Признак возрастания/убывания функции

Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.

Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.

Точки экстремума

Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.

Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).

Другие упражнения из параграфа § 51

923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 9
Параграф: § 51 — Применение производной к построению графиков функций
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.