ГДЗ: Упражнение 934 - Параграф § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

934 упражнение:

Найти число действительных корней уравнения:

1) \( x^4 - 4x^3 + 20 = 0 \);

Ответ

Шаг 1: Анализ функции.

Рассмотрим функцию \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 20 \). Число корней уравнения равно числу пересечений графика \( y = f(x) \) с осью \( x \).

Шаг 2: Производная и экстремумы.

\( f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) \). Критические точки: \( x_1 = 0 \) (двукратный), \( x_2 = 3 \).

На \( (-\infty; 0) \) и \( (0; 3) \): \( f'(x) < 0 \). Убывает. \( x = 0 \) — нет экстремума (точка перегиба с горизонтальной касательной).

На \( (3; +\infty) \): \( f'(x) > 0 \). Возрастает. \( x = 3 \) — минимум.

Шаг 3: Значение минимума.

\( f_{min} = f(3) = 3^4 - 4(3)^3 + 20 = 81 - 4(27) + 20 = 81 - 108 + 20 = -7 \).

Шаг 4: Поведение на бесконечности.

\( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty \). \( f(0) = 20 \).

Шаг 5: Вывод.

Функция убывает с \( +\infty \) до \( f(3) = -7 \), затем возрастает до \( +\infty \).

Так как минимум \( f(3) = -7 < 0 \) и \( f(x) \to +\infty \) при \( x \to \pm\infty \), график пересекает ось \( x \) в двух точках: один корень \( x_1 \in (-\infty; 3) \) и один корень \( x_2 \in (3; +\infty) \).

Ответ: Уравнение имеет два действительных корня.

2) \( 8x^3 - 3x - 7 = 0 \).

Ответ

Шаг 1: Анализ функции.

Рассмотрим функцию \( f(x) = 8x^3 - 3x - 7 \).

Шаг 2: Производная и экстремумы.

\( f'(x) = 24x^2 - 3 = 3(8x^2 - 1) \). Критические точки: \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{8}} = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}} \). \( x_1 = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \), \( x_2 = \frac{1}{2\sqrt{2}} \).

\( (-\infty; x_1) \): \( f'(x) > 0 \). Возрастает. \( x_1 \) — максимум.

\( (x_1; x_2) \): \( f'(x) < 0 \). Убывает. \( x_2 \) — минимум.

\( (x_2; +\infty) \): \( f'(x) > 0 \). Возрастает.

Шаг 3: Значения экстремумов.

\( x_1 = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \) \( \implies \) \( x_1^2 = 1/8 \), \( x_1^3 = -1/(16\sqrt{2}) \).

\( f(x_1) = 8(-\frac{1}{16\sqrt{2}}) - 3(-\frac{1}{2\sqrt{2}}) - 7 = -\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{2\sqrt{2}} - 7 = \frac{2}{2\sqrt{2}} - 7 = \frac{1}{\sqrt{2}} - 7 \approx 0.707 - 7 < 0 \). (Максимум отрицательный).

\( x_2 = \frac{1}{2\sqrt{2}} \). \( f(x_2) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - 7 \approx -7.707 < 0 \). (Минимум отрицательный).

Шаг 4: Поведение на бесконечности.

\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \). \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \).

Шаг 5: Вывод.

Функция возрастает от \( -\infty \) до отрицательного максимума, затем убывает до отрицательного минимума, затем возрастает до \( +\infty \).

График пересечет ось \( x \) только один раз при возрастании после минимума.

Ответ: Уравнение имеет один действительный корень.

Что применять при решении

Признак возрастания/убывания функции

Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.

Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.

Точки экстремума

Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.

Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).

Другие упражнения из параграфа § 51

923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 9
Параграф: § 51 — Применение производной к построению графиков функций
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.