ГДЗ: Упражнение 935 - Параграф § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

935 упражнение:

Построить график функции \( y = \frac{x^3 - 4}{(x - 1)^3} \). Сколько действительных корней имеет уравнение \( \frac{x^3 - 4}{(x - 1)^3} = C \) при различных значениях \( C \)?

1) Построить график функции.

Ответ

Шаг 1: Преобразование, область определения и асимптоты.

Преобразуем функцию: \( y = \frac{(x^3 - 1) - 3}{(x - 1)^3} \). (Неудачно).

Преобразуем делением: \( y = \frac{x^3 - 4}{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} = \frac{1 + \frac{3x^2 - 3x - 3}{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}}{1} \). (Сложно).

Проще: \( y = \left( \frac{x}{x - 1} \right)^3 - \frac{4}{(x - 1)^3} \).

\( D(y): x \ne 1 \). Вертикальная асимптота: \( x = 1 \). Горизонтальная асимптота: \( \lim_{x \to \pm\infty} y = 1 \). \( y = 1 \).

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = \frac{3x^2(x - 1)^3 - (x^3 - 4) \cdot 3(x - 1)^2 \cdot 1}{(x - 1)^6} = \frac{3(x - 1)^2 [x^2(x - 1) - (x^3 - 4)]}{(x - 1)^6} \).

\( y' = \frac{3(x^3 - x^2 - x^3 + 4)}{(x - 1)^4} = \frac{3(4 - x^2)}{(x - 1)^4} = \frac{3(2 - x)(2 + x)}{(x - 1)^4} \).

Критические точки: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 2 \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

Знаменатель \( (x - 1)^4 > 0 \). Знак \( y' \) определяется числителем \( 3(4 - x^2) \).

\( (-\infty; -2) \): \( y' < 0 \). Убывает. \( x = -2 \) — минимум. \( y(-2) = \frac{-8 - 4}{(-3)^3} = \frac{-12}{-27} = \frac{4}{9} \approx 0.44 \).

\( (-2; 1) \): \( y' > 0 \). Возрастает.

\( (1; 2) \): \( y' > 0 \). Возрастает.

\( (2; +\infty) \): \( y' < 0 \). Убывает. \( x = 2 \) — максимум. \( y(2) = \frac{8 - 4}{(1)^3} = 4 \).

Эскиз: Имеет минимум \( (-2; 4/9) \), максимум \( (2; 4) \). Разрывается в \( x=1 \). Имеет горизонтальную асимптоту \( y = 1 \).

2) Сколько действительных корней имеет уравнение \( \frac{x^3 - 4}{(x - 1)^3} = C \) при различных значениях \( C \)?

Ответ

Шаг 1: Связь с графиком.

Число действительных корней уравнения \( y = C \) равно числу пересечений графика функции \( y = f(x) \) с горизонтальной прямой \( y = C \).

Шаг 2: Анализ графика (построение в Variant 1).

Максимум: \( y_{max} = 4 \) при \( x = 2 \).

Минимум: \( y_{min} = 4/9 \) при \( x = -2 \).

Горизонтальная асимптота: \( y = 1 \).

Шаг 3: Определение числа корней в зависимости от \( C \).

Случай 1: \( C < 4/9 \).

Прямая \( y = C \) находится ниже локального минимума \( 4/9 \). График убывает с \( 1 \) (сверху) до \( 4/9 \) (минимум) и от \( +\infty \) (слева от \( x=1 \)) до \( 1 \) (снизу).

\( x \to -\infty \): \( y \to 1 \). \( x \to -2 \): \( y = 4/9 \). \( x \to 1^- \): \( y \to +\infty \).

\( x \to 1^+ \): \( y \to -\infty \). \( x \to 2 \): \( y = 4 \). \( x \to +\infty \): \( y \to 1 \).

Для \( C < 4/9 \), прямая \( y = C \) пересекает участок \( (1; 2) \) и участок \( (2; +\infty) \) (но \( y \to 1 \)).

Корректно: \( y \in (4/9; 1) \) на \( (-\infty; -2) \). \( y \in (4/9; +\infty) \) на \( (-2; 1) \). \( y \in (-\infty; 4) \) на \( (1; 2) \). \( y \in (1; 4) \) на \( (2; +\infty) \).

При \( C < 4/9 \), прямая \( y = C \) пересекает график один раз (на \( (1; 2) \)).

Случай 2: \( C = 4/9 \).

Прямая проходит через минимум: один корень (\( x = -2 \)).

Случай 3: \( 4/9 < C < 1 \).

Прямая пересекает график три раза (один на \( (-\infty; -2) \), один на \( (-2; 1) \) и один на \( (1; 2) \)).

Случай 4: \( C = 1 \).

Прямая является асимптотой: один корень (на \( (1; 2) \) или \( (2; +\infty) \) — нужно проверить). \( y \to 1 \) с двух сторон. \( y(1) \) - асимптота. \( y(x) = 1 \) \( \implies \) \( x^3 - 4 = (x - 1)^3 \) \( \implies \) \( 3x^2 - 3x - 3 = 0 \) \( \implies \) \( x^2 - x - 1 = 0 \). \( D = 5 \). \( x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \). Два корня.

Случай 5: \( 1 < C < 4 \).

Прямая пересекает график три раза (один на \( (-2; 1) \), два на \( (1; +\infty) \)).

Случай 6: \( C = 4 \).

Прямая проходит через максимум: два корня (\( x = 2 \) и один на \( (-2; 1) \)).

Случай 7: \( C > 4 \).

Прямая пересекает график один раз (на \( (-2; 1) \)).

Ответ:

\( C < 4/9 \): 1 корень.
\( C = 4/9 \): 1 корень.
\( 4/9 < C < 1 \): 3 корня.
\( C = 1 \): 2 корня.
\( 1 < C < 4 \): 3 корня.
\( C = 4 \): 2 корня.
\( C > 4 \): 1 корень.

Что применять при решении

Признак возрастания/убывания функции

Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.

Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.

Точки экстремума

Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.

Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).

Другие упражнения из параграфа § 51

923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 9
Параграф: § 51 — Применение производной к построению графиков функций
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.