ГДЗ: Упражнение 927 - Параграф § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

927 упражнение:

Построить график функции:

1) \( y = -x^4 + 8x^2 - 16 \);

Ответ

Шаг 1: Область определения.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Функция четная, так как \( y(-x) = y(x) \).

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = (-x^4 + 8x^2 - 16)' = -4x^3 + 16x = -4x(x^2 - 4) = -4x(x - 2)(x + 2) \).

Критические точки (\( y' = 0 \)): \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 2 \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( y' \) имеет вид кубической параболы, начинающейся сверху (коэффициент при \( x^3 \) отрицателен).

\( (-\infty; -2) \): \( y' > 0 \). Возрастает.

\( (-2; 0) \): \( y' < 0 \). Убывает.

\( (0; 2) \): \( y' > 0 \). Возрастает.

\( (2; +\infty) \): \( y' < 0 \). Убывает.

Экстремумы:

\( x = -2 \): минимум. \( y(-2) = -(-2)^4 + 8(-2)^2 - 16 = -16 + 32 - 16 = 0 \).
\( x = 0 \): максимум. \( y(0) = -16 \). (Ошибка в знаке, \( y(0) = -16 \) не максимум). Проверим: \( x=0 \) смена с \( - \) на \( + \) - минимум. Знаки: \( + \) (возр.), \( - \) (убыв.), \( + \) (возр.), \( - \) (убыв.). (Ошибка в знаке \( -4x^3 \)). \( -4x \) для \( x \to -\infty \) положительно. Верные знаки: \( + \) (возр.), \( - \) (убыв.), \( + \) (возр.), \( - \) (убыв.).
Перепроверка знаков: \( y' = -4x(x - 2)(x + 2) \).

\( x = -3 \): \( -4(-3)(-5)(-1) = -60 < 0 \). Убывает. (Ошибка в первом шаге!)
\( x = -1 \): \( -4(-1)(-3)(1) = -12 < 0 \). Убывает. (Опять ошибка).

Верное разбиение: \( (-\infty; -2) \), \( (-2; 0) \), \( (0; 2) \), \( (2; +\infty) \).
\( x = -3 \): \( y' = -4(-3)(-1)(-5) = -60 < 0 \). Убывает.
\( x = -1 \): \( y' = -4(-1)(-3)(1) = -12 < 0 \). (Ошибка в знаках: \( y'(-1) = -4(-1)((-1)-2)((-1)+2) = 4(-3)(1) = -12 \) – не верно!)
\( y'(-1) = -4(-1)((-1)-2)((-1)+2) = 4 \cdot (-3) \cdot 1 = -12 \).
Попробуем \( y'(-1) = -4(-1)((-1)^2 - 4) = 4(1 - 4) = -12 \). Убывает.
Снова: \( y'(-3) = -4(-3)((-3)^2 - 4) = 12(9 - 4) = 60 > 0 \). Возр.
\( x = -1 \): \( y'(-1) = -12 < 0 \). Убыв.
\( x = 1 \): \( y'(1) = -4(1)(1^2 - 4) = -4(-3) = 12 > 0 \). Возр.
\( x = 3 \): \( y'(3) = -4(3)(3^2 - 4) = -12(5) = -60 < 0 \). Убыв.

Верные экстремумы:

\( x = -2 \): смена с \( + \) на \( - \) \( \implies \) максимум. \( y(-2) = 0 \).
\( x = 0 \): смена с \( - \) на \( + \) \( \implies \) минимум. \( y(0) = -16 \).
\( x = 2 \): смена с \( + \) на \( - \) \( \implies \) максимум. \( y(2) = 0 \).

Эскиз: График W-образной формы, "перевернутая W". Имеет два максимума \( y=0 \) в \( x=\pm 2 \) (нули функции) и минимум \( y=-16 \) в \( x=0 \).

2) \( y = x^4 - 2x^2 + 1 \);

Ответ

Шаг 1: Область определения.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Функция четная.

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) \).

Критические точки: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 1 \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( y' \) имеет знаки: \( - \) (убыв.), \( + \) (возр.), \( - \) (убыв.), \( + \) (возр.).

Экстремумы:

\( x = -1 \): минимум. \( y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 \).
\( x = 0 \): максимум. \( y(0) = 1 \).
\( x = 1 \): минимум. \( y(1) = 0 \).

Дополнительные точки (нули функции): \( y = (x^2 - 1)^2 = ((x - 1)(x + 1))^2 \). Нули: \( x = \pm 1 \) (двукратные корни).

Эскиз: График W-образной формы. Имеет два минимума \( y=0 \) в \( x=\pm 1 \) (касание оси \( x \)) и максимум \( y=1 \) в \( x=0 \).

3) \( y = \frac{1}{24} x^4 - \frac{1}{6} x^6 \);

Ответ

Шаг 1: Область определения.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Функция четная.

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = \frac{4}{24} x^3 - \frac{6}{6} x^5 = \frac{1}{6} x^3 - x^5 = x^3 \left( \frac{1}{6} - x^2 \right) \).

Критические точки: \( x_1 = -\frac{1}{\sqrt{6}} \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = \frac{1}{\sqrt{6}} \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( y' \) имеет знаки: \( + \) (возр.), \( - \) (убыв.), \( + \) (возр.), \( - \) (убыв.).

Экстремумы:

\( x = -\frac{1}{\sqrt{6}} \): максимум. \( y_{max} = \frac{1}{24}(\frac{1}{36}) - \frac{1}{6}(\frac{1}{216}) = \frac{1}{864} - \frac{1}{1296} \approx 0.00038 \). (Положительное).
\( x = 0 \): минимум. \( y(0) = 0 \).
\( x = \frac{1}{\sqrt{6}} \): максимум. \( y_{max} = \frac{1}{24}(\frac{1}{36}) - \frac{1}{6}(\frac{1}{216}) \approx 0.00038 \).

Эскиз: График имеет три экстремума, с двумя симметричными максимумами (\( y > 0 \)) и минимумом в начале координат (\( y=0 \)). Сходится к \( -\infty \) при \( x \to \pm\infty \) (поскольку старший член \( -\frac{1}{6}x^6 \)).

4) \( y = 6x^4 - 4x^6 \).

Ответ

Шаг 1: Область определения.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Функция четная.

Шаг 2: Производная и критические точки.

\( y' = 24x^3 - 24x^5 = 24x^3(1 - x^2) = 24x^3(1 - x)(1 + x) \).

Критические точки: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 1 \).

Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

\( y' \) имеет знаки: \( + \) (возр.), \( - \) (убыв.), \( + \) (возр.), \( - \) (убыв.).

Экстремумы:

\( x = -1 \): максимум. \( y(-1) = 6(-1)^4 - 4(-1)^6 = 6 - 4 = 2 \).
\( x = 0 \): минимум. \( y(0) = 0 \).
\( x = 1 \): максимум. \( y(1) = 2 \).

Эскиз: График имеет три экстремума, с двумя симметричными максимумами \( y=2 \) в \( x=\pm 1 \) и минимумом \( y=0 \) в \( x=0 \). Сходится к \( -\infty \) при \( x \to \pm\infty \).

Что применять при решении

Признак возрастания/убывания функции

Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.

Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.

Точки экстремума

Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.

Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).

Другие упражнения из параграфа § 51

923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 9
Параграф: § 51 — Применение производной к построению графиков функций
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.