На Горох
Разбор упражнения

ГДЗ: Упражнение 926 - § 51 (Применение производной к построению графиков функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Глава 9 Страницы: 271, 275, 276
А вы знали? Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word. Попробовать

926 упражнение:

Построить график функции:

1) \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \);
Ответ

Шаг 1: Область определения.

  • Область определения — все действительные числа: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

    • Шаг 2: Производная и критические точки.

  • Находим производную: \( y' = (x^3 - 3x^2 + 4)' = 3x^2 - 6x \).
  • Находим критические точки (\( y' = 0 \)): \( 3x^2 - 6x = 0 \) \( \implies \) \( 3x(x - 2) = 0 \). Критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \).

    • Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

  • Промежутки: \( (-\infty; 0) \), \( (0; 2) \), \( (2; +\infty) \).
  • \( (-\infty; 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( y'(-1) = 3(-1)(-1 - 2) = 9 > 0 \). Функция возрастает.
  • \( (0; 2) \): Возьмем \( x = 1 \). \( y'(1) = 3(1)(1 - 2) = -3 < 0 \). Функция убывает.
  • \( (2; +\infty) \): Возьмем \( x = 3 \). \( y'(3) = 3(3)(3 - 2) = 9 > 0 \). Функция возрастает.
  • Экстремумы:
    • \( x = 0 \): смена знака с \( + \) на \( - \) \( \implies \) точка максимума. \( y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 \).
    • \( x = 2 \): смена знака с \( - \) на \( + \) \( \implies \) точка минимума. \( y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \).

    Шаг 4: Дополнительные точки (нули функции).

  • \( y = x^3 - 3x^2 + 4 = 0 \). Заметим, что \( x=2 \) — корень (\( 0=0 \)). Разделим многочлен на \( (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \) или \( (x - 2) \) и сгруппируем: \( (x^3 - 4x^2 + 4x) + (x^2 - 4x + 4) = x(x^2 - 4x + 4) + (x^2 - 4x + 4) = (x + 1)(x - 2)^2 = 0 \).
  • Корни: \( x = -1 \) и \( x = 2 \) (двукратный корень).

    • Эскиз: График возрастает до \( (0; 4) \), убывает, проходит через \( (2; 0) \) (точка минимума и касание оси \( x \)), затем возрастает. Пересекает ось \( x \) в \( (-1; 0) \).

    2) \( y = 2 + 3x - x^3 \);
    Ответ

    Шаг 1: Область определения.

  • \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

    • Шаг 2: Производная и критические точки.

  • \( y' = (2 + 3x - x^3)' = 3 - 3x^2 \).
  • \( y' = 0 \) \( \implies \) \( 3 - 3x^2 = 0 \) \( \implies \) \( 3(1 - x^2) = 0 \) \( \implies \) \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 1 \).

    • Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

  • \( y' = -3(x - 1)(x + 1) \).
  • \( (-\infty; -1) \): \( y' < 0 \). Функция убывает.
  • \( (-1; 1) \): \( y' > 0 \). Функция возрастает.
  • \( (1; +\infty) \): \( y' < 0 \). Функция убывает.
  • Экстремумы:
    • \( x = -1 \): смена знака с \( - \) на \( + \) \( \implies \) точка минимума. \( y(-1) = 2 + 3(-1) - (-1)^3 = 2 - 3 + 1 = 0 \).
    • \( x = 1 \): смена знака с \( + \) на \( - \) \( \implies \) точка максимума. \( y(1) = 2 + 3(1) - (1)^3 = 2 + 3 - 1 = 4 \).

    Эскиз: Убывает до \( (-1; 0) \) (минимум, нуль функции), возрастает до \( (1; 4) \) (максимум), затем убывает. \( y(0) = 2 \). Единственный целый корень \( x=-1 \).

    3) \( y = -x^3 + 4x^2 - 4x \);
    Ответ

    Шаг 1: Область определения.

  • \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

    • Шаг 2: Производная и критические точки.

  • \( y' = (-x^3 + 4x^2 - 4x)' = -3x^2 + 8x - 4 \).
  • \( y' = 0 \) \( \implies \) \( -3x^2 + 8x - 4 = 0 \). \( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \).
  • Дискриминант: \( D = 8^2 - 4(3)(4) = 64 - 48 = 16 \). \( \sqrt{D} = 4 \).
  • \( x_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{6} \). \( x_1 = \frac{12}{6} = 2 \), \( x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

    • Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

  • \( y' = -3(x - 2)(x - 2/3) \).
  • \( (-\infty; 2/3) \): \( y' < 0 \). Функция убывает.
  • \( (2/3; 2) \): \( y' > 0 \). Функция возрастает.
  • \( (2; +\infty) \): \( y' < 0 \). Функция убывает.
  • Экстремумы:
    • \( x = 2/3 \): смена знака с \( - \) на \( + \) \( \implies \) точка минимума. \( y(2/3) = -(2/3)^3 + 4(2/3)^2 - 4(2/3) = -8/27 + 16/9 - 8/3 = -8/27 + 48/27 - 72/27 = -32/27 \).
    • \( x = 2 \): смена знака с \( + \) на \( - \) \( \implies \) точка максимума. \( y(2) = -(2)^3 + 4(2)^2 - 4(2) = -8 + 16 - 8 = 0 \).

    Дополнительные точки (нули функции): \( y = -x(x^2 - 4x + 4) = -x(x - 2)^2 \). Нули: \( x = 0 \) и \( x = 2 \) (двукратный корень).

    Эскиз: Убывает до \( (2/3; -32/27) \) (минимум), возрастает до \( (2; 0) \) (максимум, касание оси \( x \)), затем убывает. Проходит через \( (0; 0) \).

    4) \( y = x^4 + 6x^2 + 9x \).
    Ответ

    Шаг 1: Область определения.

  • \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

    • Шаг 2: Производная и критические точки.

  • \( y' = (x^4 + 6x^2 + 9x)' = 4x^3 + 12x + 9 \).
  • Находим корни уравнения \( 4x^3 + 12x + 9 = 0 \) (методом подбора). Заметим, что при \( x = -1.5 = -3/2 \): \( 4(-3/2)^3 + 12(-3/2) + 9 = 4(-27/8) - 18 + 9 = -27/2 - 9 = -13.5 - 9 = -22.5 \) (Не 0).
  • Попробуем рациональные корни \( p/q \) (\( p \) делит 9, \( q \) делит 4). \( x = -1 \): \( 4(-1) + 12(-1) + 9 = -4 - 12 + 9 = -7 \).
  • С помощью численных методов или формулы Кардано можно найти единственный действительный корень. Для построения графика четвертой степени, особенно когда кубическое уравнение имеет один корень, достаточно: найти знак \( y' \) и значение функции в этой точке.
  • Единственный действительный корень: \( x \approx -0.635 \) (пусть будет \( x_0 \)).

    • Шаг 3: Интервалы монотонности и экстремумы.

  • Для \( x < x_0 \) (например, \( x=-1 \)), \( y'(-1) = -7 < 0 \). Функция убывает.
  • Для \( x > x_0 \) (например, \( x=0 \)), \( y'(0) = 9 > 0 \). Функция возрастает.
  • Экстремум: \( x = x_0 \) — точка минимума. \( y_{min} = y(x_0) \) (отрицательное значение).

    • Эскиз: Убывает до \( x_0 \), затем возрастает. Имеет один локальный минимум. \( y(0) = 0 \) (нуль функции). График имеет форму "чаши", сдвинутой влево.

    Что применять при решении

    Признак возрастания/убывания функции

    Если производная функции \( f'(x) \) положительна на интервале, то функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале. Если отрицательна, то функция убывает. Точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, называются критическими точками и являются кандидатами на точки экстремума.
    Если \( f'(x) > 0 \), то \( f(x) \) возрастает. Если \( f'(x) < 0 \), то \( f(x) \) убывает.

    Точки экстремума

    Критические точки, в которых производная меняет знак. Точка, в которой производная меняет знак с '+' на '-' при переходе через неё, является точкой максимума. С '-' на '+' – точкой минимума.
    Максимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( + \) на \( - \). Минимум: \( f'(x) \) меняет знак с \( - \) на \( + \).

    Не сходится своя задача? Разберём по шагам

    • Формула, подстановка и расчёт
    • Числа считает калькулятор, а не нейросеть
    • Бесплатно и без регистрации
    Решить задачу Разбор задачи бесплатный

    Другие упражнения из параграфа § 51

    923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935

    Данные параграфа

    К параграфу →
    Глава
    Глава 9
    Параграф
    § 51 — Применение производной к построению графиков функций
    Учебник
    Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
    Автор
    Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
    Год
    2025

    Задали работу по этой теме?

    Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.

    Создать проект Готовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.

    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.