ГДЗ: Упражнение 936 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Используя график функции (рис. 140), найти её точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения функции.
1)
График \(y = f(x)\) (Рис. 140, а))
Ответ
Решение:
Рассмотрим график функции \( y = f(x) \) на рисунке 140, а).
1. Нахождение точек экстремума:
Точки минимума: Это точки, в которых функция имеет локальный минимум. На графике видно, что функция имеет локальные минимумы в точках, где график достигает своих "долин". Эти точки: \( x = -4 \) и \( x = 2 \).
Точки максимума: Это точки, в которых функция имеет локальный максимум. На графике видно, что функция имеет локальные максимумы в точках, где график достигает своих "вершин". Эта точка: \( x = -1 \).
2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:
Наибольшее и наименьшее значения ищутся среди значений в точках экстремума и на концах рассматриваемого промежутка (если таковой определён). График представлен на некотором отрезке.
Наибольшее значение: Самая высокая точка на графике. Это точка \((-1; 2)\). Таким образом, наибольшее значение функции равно \( 2 \), достигается при \( x = -1 \).
Наименьшее значение: Самая низкая точка на графике. Это точка \((2; -3)\). Таким образом, наименьшее значение функции равно \( -3 \), достигается при \( x = 2 \).
Ответ:
Точки экстремума: точки минимума — \( x = -4, x = 2 \); точка максимума — \( x = -1 \).
Наибольшее значение функции: \( 2 \) при \( x = -1 \).
Наименьшее значение функции: \( -3 \) при \( x = 2 \).
2)
График \( y = f_1(x) \) (Рис. 140, б))
Ответ
Решение:
Рассмотрим график функции \( y = f_1(x) \) на рисунке 140, б).
1. Нахождение точек экстремума:
Точки минимума: На графике функция имеет локальные минимумы в точках: \( x = -2 \) и \( x = 1 \).
Точки максимума: На графике функция имеет локальный максимум в точке: \( x = -0,5 \) (приблизительно).
2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:
Наибольшее значение: Самая высокая точка на графике. Это правый конец графика \((2; 2)\). Таким образом, наибольшее значение функции равно \( 2 \), достигается при \( x = 2 \).
Наименьшее значение: Самая низкая точка на графике. Это точка минимума \((1; -1)\). Таким образом, наименьшее значение функции равно \( -1 \), достигается при \( x = 1 \).
Ответ:
Точки экстремума: точки минимума — \( x = -2, x = 1 \); точка максимума — \( x \approx -0,5 \).
Наибольшее значение функции: \( 2 \) при \( x = 2 \).
Наименьшее значение функции: \( -1 \) при \( x = 1 \).
3)
График \( y = f_2(x) \) (Рис. 140, в))
Ответ
Решение:
Рассмотрим график функции \( y = f_2(x) \) на рисунке 140, в).
1. Нахождение точек экстремума:
Точки минимума: На графике функция имеет локальные минимумы в точках: \( x = -4 \) и \( x = 2 \).
Точки максимума: На графике функция имеет локальный максимум в точке: \( x = -1 \).
2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:
Наибольшее значение: Самая высокая точка на графике. Это точка максимума \((-1; 2)\). Таким образом, наибольшее значение функции равно \( 2 \), достигается при \( x = -1 \).
Наименьшее значение: Самая низкая точка на графике. Это левый конец графика \((-5; -3)\) и точка минимума \((2; -3)\). Таким образом, наименьшее значение функции равно \( -3 \), достигается при \( x = -5 \) и \( x = 2 \).
Ответ:
Точки экстремума: точки минимума — \( x = -4, x = 2 \); точка максимума — \( x = -1 \).
Наибольшее значение функции: \( 2 \) при \( x = -1 \).
Наименьшее значение функции: \( -3 \) при \( x = -5, x = 2 \).
4)
График \( y = f_3(x) \) (Рис. 140, г))
Ответ
Решение:
Рассмотрим график функции \( y = f_3(x) \) на рисунке 140, г).
1. Нахождение точек экстремума:
Точки минимума: На графике функция имеет локальные минимумы в точках: \( x = -2 \) и \( x = 1 \).
Точки максимума: На графике функция имеет локальный максимум в точке: \( x = -0,5 \) (приблизительно).
2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:
Наибольшее значение: Самая высокая точка на графике. Это левый конец графика \((-3; 2)\). Таким образом, наибольшее значение функции равно \( 2 \), достигается при \( x = -3 \).
Наименьшее значение: Самая низкая точка на графике. Это точка минимума \((1; -1)\). Таким образом, наименьшее значение функции равно \( -1 \), достигается при \( x = 1 \).
Ответ:
Точки экстремума: точки минимума — \( x = -2, x = 1 \); точка максимума — \( x \approx -0,5 \).
Наибольшее значение функции: \( 2 \) при \( x = -3 \).
Наименьшее значение функции: \( -1 \) при \( x = 1 \).
Что применять при решении
Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
Пусть функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a; b]\). Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на этом отрезке необходимо выполнить следующие шаги:
1) Найти значения функции на концах отрезка, т. е. числа \(f(a)\) и \(f(b)\).
2) Найти её значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу \((a; b)\).
3) Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Критические точки - это точки, где производная \(f'(x)\) равна нулю или не существует.
Нахождение экстремумов функции
Точки экстремума (минимума и максимума) функции могут быть найдены среди её критических точек. Если при переходе через критическую точку производная \(f'(x)\) меняет знак с «+» на «−», то это точка максимума; если с «−» на «+», то это точка минимума.
Точки экстремума \(x_0\): \(f'(x_0) = 0\) или \(f'(x_0)\) не существует.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
