Решение:
Найдём наименьшее значение функции \( f(x) = e^{2x} - 3x \) на интервале \( (-1; 1) \).
Шаг 1: Находим производную функции.
Используем формулу \( (e^{kx})' = k e^{kx} \).
\( f'(x) = (e^{2x} - 3x)' = 2e^{2x} - 3 \).
Шаг 2: Находим критические точки.
Приравниваем производную к нулю:
\( 2e^{2x} - 3 = 0 \)
\( e^{2x} = \frac{3}{2} \)
Логарифмируем обе части по основанию \( e \):
\( 2x = \ln(\frac{3}{2}) \)
\( x = \frac{1}{2} \ln(\frac{3}{2}) \).
Шаг 3: Проверяем, принадлежит ли критическая точка интервалу.
Интервал \( (-1; 1) \). \( x_0 = \frac{1}{2} \ln(1,5) \). Так как \( 1 < 1,5 < e \approx 2,718 \), то \( 0 < \ln(1,5) < 1 \). Следовательно, \( 0 < x_0 < 0,5 \). Точка принадлежит интервалу.
Шаг 4: Исследуем знак производной.
\( f'(x) = 2e^{2x} - 3 \).
- Если \( x < x_0 \), то \( 2x < \ln(\frac{3}{2}) \), \( e^{2x} < \frac{3}{2} \), \( 2e^{2x} < 3 \). Значит, \( f'(x) < 0 \). Функция убывает.
- Если \( x > x_0 \), то \( 2x > \ln(\frac{3}{2}) \), \( e^{2x} > \frac{3}{2} \), \( 2e^{2x} > 3 \). Значит, \( f'(x) > 0 \). Функция возрастает.
Поскольку при переходе через \( x_0 \) производная меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 = \frac{1}{2} \ln(\frac{3}{2}) \) является точкой минимума, и в ней достигается наименьшее значение функции на данном интервале.
Шаг 5: Вычисляем наименьшее значение.
При \( x_0 = \frac{1}{2} \ln(\frac{3}{2}) \): \( 2x_0 = \ln(\frac{3}{2}) \), и \( e^{2x_0} = e^{\ln(\frac{3}{2})} = \frac{3}{2} \).
\( f(x_0) = e^{2x_0} - 3x_0 = \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2} \ln(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \ln(\frac{3}{2}) \).
Ответ: Наименьшее значение: \( \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \ln(\frac{3}{2}) = 1,5(1 - \ln 1,5) \).