Решение:
Шаг 1: Составляем функцию, которую нужно максимизировать.
Пусть стороны прямоугольника равны \( x \) и \( y \). По условию:
Периметр: \( P = 2(x + y) = p \implies x + y = \frac{p}{2} \implies y = \frac{p}{2} - x \).
Площадь: \( S = xy \).
Подставим \( y \):
\( S(x) = x(\frac{p}{2} - x) = \frac{p}{2}x - x^2 \).
Так как \( x \) и \( y \) — длины сторон, они должны быть положительными: \( x > 0 \) и \( y > 0 \). Из \( y = \frac{p}{2} - x > 0 \) следует \( x < \frac{p}{2} \). Таким образом, область определения функции: \( (0; \frac{p}{2}) \).
Шаг 2: Находим производную функции.
\( S'(x) = (\frac{p}{2}x - x^2)' = \frac{p}{2} - 2x \).
Шаг 3: Находим критические точки.
Приравниваем производную к нулю:
\( \frac{p}{2} - 2x = 0 \)
\( 2x = \frac{p}{2} \implies x = \frac{p}{4} \).
Критическая точка \( x = \frac{p}{4} \), которая принадлежит промежутку \( (0; \frac{p}{2}) \).
Шаг 4: Исследуем знак производной.
\( S'(x) = \frac{p}{2} - 2x = 2(\frac{p}{4} - x) \).
- Если \( 0 < x < \frac{p}{4} \): \( S'(x) > 0 \). Функция возрастает.
- Если \( \frac{p}{4} < x < \frac{p}{2} \): \( S'(x) < 0 \). Функция убывает.
Поскольку при переходе через \( x = \frac{p}{4} \) производная меняет знак с «+» на «−», то \( x = \frac{p}{4} \) является точкой максимума. Площадь будет наибольшей.
Шаг 5: Находим вторую сторону.
При \( x = \frac{p}{4} \): \( y = \frac{p}{2} - x = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{p}{4} \).
Так как \( x = y = \frac{p}{4} \), то искомый прямоугольник — это квадрат.
Ответ: Прямоугольник с наибольшей площадью — это квадрат со стороной \( \frac{p}{4} \).