Решение:
Найдём наименьшее значение функции \( f(x) = x^2 + \frac{16}{x^2} \) на промежутке \( (0; +\infty) \).
Шаг 1: Находим производную функции.
Перепишем функцию: \( f(x) = x^2 + 16x^{-2} \).
\( f'(x) = (x^2 + 16x^{-2})' = 2x - 32x^{-3} = 2x - \frac{32}{x^3} = \frac{2x^4 - 32}{x^3} = \frac{2(x^4 - 16)}{x^3} \).
Шаг 2: Находим критические точки.
Критические точки: \( f'(x) = 0 \) или \( f'(x) \) не существует. \( f'(x) \) не существует при \( x = 0 \), что не входит в промежуток \( (0; +\infty) \).
\( 2(x^4 - 16) = 0 \implies x^4 = 16 \).
В области \( (0; +\infty) \) это даёт: \( x = 2 \).
Шаг 3: Исследуем знак производной.
Проверим знак \( f'(x) = \frac{2(x^4 - 16)}{x^3} \) вблизи \( x = 2 \), учитывая, что \( x > 0 \). Знаменатель \( x^3 \) всегда положительный, поэтому знак \( f'(x) \) совпадает со знаком числителя \( x^4 - 16 \).
- Если \( 0 < x < 2 \), например \( x = 1 \): \( f'(1) = \frac{2(1^4 - 16)}{1^3} = -30 < 0 \). Функция убывает.
- Если \( x > 2 \), например \( x = 3 \): \( f'(3) = \frac{2(3^4 - 16)}{3^3} = \frac{2(81 - 16)}{27} = \frac{130}{27} > 0 \). Функция возрастает.
Так как при переходе через \( x = 2 \) производная меняет знак с «−» на «+», то \( x = 2 \) является точкой минимума.
Шаг 4: Вычисляем значение функции в точке минимума.
\( f(2) = (2)^2 + \frac{16}{(2)^2} = 4 + \frac{16}{4} = 4 + 4 = 8 \).
Поскольку это единственная точка экстремума на промежутке, это и есть наименьшее значение функции. Наибольшего значения нет, так как \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \) и \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \).
Ответ: Наименьшее значение: \( 8 \) (при \( x = 2 \)). Наибольшего значения не существует.