Решение:
Найдём наибольшее значение функции \( f(x) = \sqrt{3}x - x\sqrt{x} \) на промежутке \( (0; +\infty) \).
Шаг 1: Находим производную функции.
Перепишем функцию: \( f(x) = \sqrt{3}x - x^{3/2} \).
\( f'(x) = (\sqrt{3}x - x^{3/2})' = \sqrt{3} - \frac{3}{2} x^{1/2} = \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{x}}{2} \).
Шаг 2: Находим критические точки.
Приравниваем производную к нулю:
\( \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{x}}{2} = 0 \)
\( \frac{3\sqrt{x}}{2} = \sqrt{3} \)
\( 3\sqrt{x} = 2\sqrt{3} \)
\( \sqrt{x} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} \)
Возводим в квадрат:
\( x = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3} \).
Критическая точка: \( x = \frac{4}{3} \), которая принадлежит промежутку \( (0; +\infty) \).
Шаг 3: Исследуем знак производной.
\( f'(x) = \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{x}}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{x}}{2} \).
Так как \( x > 0 \), знаменатель \( 2 > 0 \). Знак \( f'(x) \) совпадает со знаком числителя \( 2\sqrt{3} - 3\sqrt{x} \).
Рассмотрим неравенство \( 2\sqrt{3} - 3\sqrt{x} > 0 \):
\( 2\sqrt{3} > 3\sqrt{x} \)
\( (2\sqrt{3})^2 > (3\sqrt{x})^2 \)
\( 12 > 9x \)
\( x < \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \).
- Если \( 0 < x < \frac{4}{3} \): \( f'(x) > 0 \). Функция возрастает.
- Если \( x > \frac{4}{3} \): \( f'(x) < 0 \). Функция убывает.
Поскольку при переходе через \( x = \frac{4}{3} \) производная меняет знак с «+» на «−», то \( x = \frac{4}{3} \) является точкой максимума. Это и будет наибольшее значение функции на промежутке.
Шаг 4: Вычисляем наибольшее значение.
При \( x = \frac{4}{3} \):
\( f(\frac{4}{3}) = \sqrt{3} \cdot \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{8}{3\sqrt{3}} \).
Приведём к общему знаменателю \( 3\sqrt{3} \):
\( f(\frac{4}{3}) = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 8}{3\sqrt{3}} = \frac{4 \cdot 3 - 8}{3\sqrt{3}} = \frac{12 - 8}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}} \).
Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):
\( f(\frac{4}{3}) = \frac{4\sqrt{3}}{9} \).
Ответ: Наибольшее значение: \( \frac{4\sqrt{3}}{9} \).