Решение:
Найдём наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x \) на отрезке \([-4; 3]\).
Шаг 1: Находим производную функции.
Производная функции \( f(x) \) равна:
\( f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 36x)' = 6x^2 + 6x - 36 \).
Шаг 2: Находим критические точки.
Критические точки — это точки, где \( f'(x) = 0 \):
\( 6x^2 + 6x - 36 = 0 \)
Разделим уравнение на 6:
\( x^2 + x - 6 = 0 \)
Найдём корни квадратного уравнения (например, по теореме Виета или через дискриминант):
\( D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \)
\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \)
Получаем две критические точки: \( x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \).
Шаг 3: Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку.
Отрезок \([-4; 3]\).
- \( x_1 = 2 \). Так как \( -4 \le 2 \le 3 \), то \( x = 2 \) принадлежит отрезку.
- \( x_2 = -3 \). Так как \( -4 \le -3 \le 3 \), то \( x = -3 \) принадлежит отрезку.
Шаг 4: Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка.
- На концах отрезка:
- В критических точках:
\( f(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4) = 2(-64) + 3(16) + 144 = -128 + 48 + 144 = 64 \).
\( f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 36(3) = 2(27) + 3(9) - 108 = 54 + 27 - 108 = -27 \).
\( f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = 2(-27) + 3(9) + 108 = -54 + 27 + 108 = 81 \).
\( f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) = 2(8) + 3(4) - 72 = 16 + 12 - 72 = -44 \).
Шаг 5: Сравниваем полученные значения.
Значения функции: \( 64, -27, 81, -44 \).
- Наибольшее значение: \( 81 \) (при \( x = -3 \)).
- Наименьшее значение: \( -44 \) (при \( x = 2 \)).
Ответ: Наибольшее значение: \( 81 \); Наименьшее значение: \( -44 \).