Решение:
Шаг 1: Определяем размеры коробки и составляем функцию объёма.
Пусть \( x \) — длина стороны квадрата, вырезаемого по краям, что соответствует высоте коробки (рис. 141).
Исходный лист: квадрат со стороной \( a \).
После вырезания квадратов со стороной \( x \) по углам, основание коробки будет иметь форму квадрата со стороной \( a - 2x \).
Размеры коробки:
- Высота: \( h = x \).
- Длина основания: \( l = a - 2x \).
- Ширина основания: \( w = a - 2x \).
Объём коробки \( V \) равен произведению её измерений:
\( V = l \cdot w \cdot h = (a - 2x)^2 x = (a^2 - 4ax + 4x^2) x = 4x^3 - 4ax^2 + a^2x \).
Ограничения на \( x \): \( x > 0 \) (высота) и \( a - 2x > 0 \) (сторона основания). Отсюда \( 2x < a \), или \( x < \frac{a}{2} \). Область определения функции: \( (0; \frac{a}{2}) \).
Шаг 2: Находим производную функции объёма.
\( V'(x) = (4x^3 - 4ax^2 + a^2x)' = 12x^2 - 8ax + a^2 \).
Шаг 3: Находим критические точки.
Приравниваем производную к нулю: \( 12x^2 - 8ax + a^2 = 0 \).
Решаем квадратное уравнение относительно \( x \):
\( D = (-8a)^2 - 4(12)(a^2) = 64a^2 - 48a^2 = 16a^2 \).
\( x = \frac{-(-8a) \pm \sqrt{16a^2}}{2(12)} = \frac{8a \pm 4a}{24} \).
Два критических значения:
\( x_1 = \frac{8a + 4a}{24} = \frac{12a}{24} = \frac{a}{2} \).
\( x_2 = \frac{8a - 4a}{24} = \frac{4a}{24} = \frac{a}{6} \).
Шаг 4: Проверяем, принадлежат ли критические точки интервалу.
Интервал \( (0; \frac{a}{2}) \).
- \( x_1 = \frac{a}{2} \) не принадлежит интервалу (это конец интервала). При \( x = \frac{a}{2} \), \( V(\frac{a}{2}) = 0 \).
- \( x_2 = \frac{a}{6} \) принадлежит интервалу, так как \( 0 < \frac{a}{6} < \frac{a}{2} \).
Шаг 5: Исследуем знак производной.
Производная \( V'(x) = 12(x - \frac{a}{6})(x - \frac{a}{2}) \). Это парабола ветвями вверх, корни: \( \frac{a}{6} \) и \( \frac{a}{2} \).
- Если \( 0 < x < \frac{a}{6} \): \( V'(x) > 0 \). Функция возрастает.
- Если \( \frac{a}{6} < x < \frac{a}{2} \): \( V'(x) < 0 \). Функция убывает.
Поскольку при переходе через \( x = \frac{a}{6} \) производная меняет знак с «+» на «−», то \( x = \frac{a}{6} \) является точкой максимума. В этой точке объём будет наибольшим.
Ответ: Высота коробки должна быть равна \( \frac{a}{6} \).