Решение:
Шаг 1: Составляем функцию, которую нужно минимизировать.
Пусть \( M(x, y) \) — искомая точка на параболе \( y = x^2 \). Тогда \( M(x, x^2) \).
Расстояние \( d \) между точками \( M(x, x^2) \) и \( A(2; 0,5) \) по формуле расстояния:
\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + (x^2 - 0,5)^2} \).
Минимизация расстояния \( d \) эквивалентна минимизации квадрата расстояния \( d^2 \). Введём функцию \( f(x) = d^2 \):
\( f(x) = (x - 2)^2 + (x^2 - 0,5)^2 \).
Шаг 2: Находим производную функции \( f(x) \).
\( f'(x) = 2(x - 2) \cdot 1 + 2(x^2 - 0,5) \cdot (x^2 - 0,5)' \)
\( f'(x) = 2(x - 2) + 2(x^2 - 0,5) \cdot (2x) \)
\( f'(x) = 2x - 4 + 4x(x^2 - 0,5) \)
\( f'(x) = 2x - 4 + 4x^3 - 2x = 4x^3 - 4 \).
Шаг 3: Находим критические точки.
Приравниваем производную к нулю:
\( 4x^3 - 4 = 0 \implies 4x^3 = 4 \implies x^3 = 1 \implies x = 1 \).
Критическая точка: \( x = 1 \).
Шаг 4: Исследуем знак производной.
\( f'(x) = 4(x^3 - 1) = 4(x - 1)(x^2 + x + 1) \).
Поскольку \( x^2 + x + 1 > 0 \) для всех \( x \) (дискриминант \( 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0 \)), знак \( f'(x) \) совпадает со знаком \( x - 1 \).
- Если \( x < 1 \): \( x - 1 < 0 \). Значит, \( f'(x) < 0 \). Функция убывает.
- Если \( x > 1 \): \( x - 1 > 0 \). Значит, \( f'(x) > 0 \). Функция возрастает.
Поскольку при переходе через \( x = 1 \) производная меняет знак с «−» на «+», то \( x = 1 \) является точкой минимума. В ней расстояние минимально.
Шаг 5: Находим координаты точки.
При \( x = 1 \): \( y = x^2 = 1^2 = 1 \).
Искомая точка: \( M(1; 1) \).
Ответ: Ближайшая точка на параболе: \( (1; 1) \).