ГДЗ: Упражнение 947 - § 52 (Наибольшее и наименьшее значения функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Найдём наибольшее значение функции \( f(x) = x \sqrt{4 - x} \) на интервале \( (0; 5) \).

Шаг 1: Определяем область определения и рассматриваемый промежуток.

Область определения функции: \( 4 - x \ge 0 \implies x \le 4 \). Интервал \( (0; 5) \) в пересечении с областью определения даёт промежуток \( (0; 4] \).

Шаг 2: Находим производную функции.

Используем правило производной произведения и формулу \( (\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \).

\( f'(x) = (x \sqrt{4 - x})' = (x)' \sqrt{4 - x} + x (\sqrt{4 - x})' \)

\( f'(x) = 1 \cdot \sqrt{4 - x} + x \cdot \frac{(4 - x)'}{2\sqrt{4 - x}} = \sqrt{4 - x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} \)

\( f'(x) = \frac{2(4 - x)}{2\sqrt{4 - x}} - \frac{x}{2\sqrt{4 - x}} = \frac{8 - 2x - x}{2\sqrt{4 - x}} = \frac{8 - 3x}{2\sqrt{4 - x}} \).

Шаг 3: Находим критические точки.

Критические точки: \( f'(x) = 0 \) или \( f'(x) \) не существует.

• Производная не существует при \( 2\sqrt{4 - x} = 0 \), т.е. \( x = 4 \). Эта точка является правым концом промежутка.
• Приравниваем числитель к нулю: \( 8 - 3x = 0 \implies 3x = 8 \implies x = \frac{8}{3} \).

Критическая точка: \( x = \frac{8}{3} \), которая принадлежит интервалу \( (0; 4] \).

Шаг 4: Исследуем знак производной.

На промежутке \( (0; 4) \) знаменатель \( 2\sqrt{4 - x} > 0 \). Знак \( f'(x) \) совпадает со знаком числителя \( 8 - 3x \).

• Если \( 0 < x < \frac{8}{3} \): \( 8 - 3x > 0 \). Значит, \( f'(x) > 0 \). Функция возрастает.
• Если \( \frac{8}{3} < x < 4 \): \( 8 - 3x < 0 \). Значит, \( f'(x) < 0 \). Функция убывает.

Поскольку при переходе через \( x = \frac{8}{3} \) производная меняет знак с «+» на «−», то \( x = \frac{8}{3} \) является точкой максимума. В ней достигается наибольшее значение функции.

Шаг 5: Вычисляем наибольшее значение.

При \( x = \frac{8}{3} \):

\( f(\frac{8}{3}) = \frac{8}{3} \sqrt{4 - \frac{8}{3}} = \frac{8}{3} \sqrt{\frac{12 - 8}{3}} = \frac{8}{3} \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{3\sqrt{3}} \).

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\( f(\frac{8}{3}) = \frac{16\sqrt{3}}{9} \).

Ответ: Наибольшее значение: \( \frac{16\sqrt{3}}{9} \).

Найдём наибольшее значение функции \( f(x) = x^2 \sqrt{4 - x} \) на интервале \( (0; 4) \).

Шаг 1: Находим производную функции.

Используем правило производной произведения.

\( f'(x) = (x^2 \sqrt{4 - x})' = (x^2)' \sqrt{4 - x} + x^2 (\sqrt{4 - x})' \)

Из варианта 1 мы знаем, что \( (\sqrt{4 - x})' = \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} \).

\( f'(x) = 2x \sqrt{4 - x} + x^2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} = 2x \sqrt{4 - x} - \frac{x^2}{2\sqrt{4 - x}} \)

Приведём к общему знаменателю \( 2\sqrt{4 - x} \):

\( f'(x) = \frac{2x \sqrt{4 - x} \cdot 2\sqrt{4 - x} - x^2}{2\sqrt{4 - x}} = \frac{4x(4 - x) - x^2}{2\sqrt{4 - x}} \)

\( f'(x) = \frac{16x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{4 - x}} = \frac{16x - 5x^2}{2\sqrt{4 - x}} = \frac{x(16 - 5x)}{2\sqrt{4 - x}} \).

Шаг 2: Находим критические точки.

• Приравниваем числитель к нулю: \( x(16 - 5x) = 0 \). Корни: \( x = 0 \) и \( 16 - 5x = 0 \implies 5x = 16 \implies x = 3,2 \).
• Производная не существует при \( x = 4 \).

Точка \( x = 0 \) является левым концом интервала \( (0; 4) \). Критическая точка внутри интервала: \( x = 3,2 \).

Шаг 3: Исследуем знак производной.

На интервале \( (0; 4) \) знаменатель \( 2\sqrt{4 - x} > 0 \) и множитель \( x > 0 \). Знак \( f'(x) \) совпадает со знаком \( 16 - 5x \).

Рассмотрим неравенство \( 16 - 5x > 0 \):

\( 16 > 5x \implies x < \frac{16}{5} = 3,2 \).

• Если \( 0 < x < 3,2 \): \( f'(x) > 0 \). Функция возрастает.
• Если \( 3,2 < x < 4 \): \( f'(x) < 0 \). Функция убывает.

Поскольку при переходе через \( x = 3,2 \) производная меняет знак с «+» на «−», то \( x = 3,2 \) является точкой максимума. В ней достигается наибольшее значение функции на интервале.

Шаг 4: Вычисляем наибольшее значение.

При \( x = 3,2 = \frac{16}{5} \):

\( f(\frac{16}{5}) = (\frac{16}{5})^2 \sqrt{4 - \frac{16}{5}} = \frac{256}{25} \sqrt{\frac{20 - 16}{5}} = \frac{256}{25} \sqrt{\frac{4}{5}} \)

\( f(\frac{16}{5}) = \frac{256}{25} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{512}{25\sqrt{5}} \).

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \):

\( f(\frac{16}{5}) = \frac{512\sqrt{5}}{125} \).

Ответ: Наибольшее значение: \( \frac{512\sqrt{5}}{125} \).

Найдём наибольшее значение функции \( f(x) = \sqrt[3]{x^2(1 - x)} \) на интервале \( (0; 1) \).

Упрощение: На интервале \( (0; 1) \), где функция положительна, она принимает наибольшее значение в той же точке, что и функция \( g(x) = (f(x))^3 = x^2(1 - x) = x^2 - x^3 \).

Будем искать наибольшее значение функции \( g(x) = x^2 - x^3 \) на интервале \( (0; 1) \).

Шаг 1: Находим производную \( g(x) \).

\( g'(x) = (x^2 - x^3)' = 2x - 3x^2 = x(2 - 3x) \).

Шаг 2: Находим критические точки \( g(x) \).

Приравниваем производную к нулю: \( x(2 - 3x) = 0 \).

Корни: \( x = 0 \) и \( 2 - 3x = 0 \implies x = \frac{2}{3} \).

Точка \( x = 0 \) является левым концом интервала \( (0; 1) \). Критическая точка внутри интервала: \( x = \frac{2}{3} \).

Шаг 3: Исследуем знак производной \( g'(x) \).

На интервале \( (0; 1) \) множитель \( x > 0 \). Знак \( g'(x) \) совпадает со знаком \( 2 - 3x \).

Рассмотрим неравенство \( 2 - 3x > 0 \):

\( 2 > 3x \implies x < \frac{2}{3} \).

• Если \( 0 < x < \frac{2}{3} \): \( g'(x) > 0 \). Функция \( g(x) \) возрастает.
• Если \( \frac{2}{3} < x < 1 \): \( g'(x) < 0 \). Функция \( g(x) \) убывает.

Поскольку при переходе через \( x = \frac{2}{3} \) производная меняет знак с «+» на «−», то \( x = \frac{2}{3} \) является точкой максимума для \( g(x) \), а значит и для \( f(x) \).

Шаг 4: Вычисляем наибольшее значение \( f(x) \).

При \( x = \frac{2}{3} \):

\( f(\frac{2}{3}) = \sqrt[3]{(\frac{2}{3})^2 (1 - \frac{2}{3})} = \sqrt[3]{\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{4}{27}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3} \).

Ответ: Наибольшее значение: \( \frac{\sqrt[3]{4}}{3} \).

Найдём наибольшее значение функции \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 5}^{-1} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 5}} \) на интервале \( (-1; 5) \).

Упрощение: Функция \( f(x) \) будет принимать наибольшее значение там, где её знаменатель \( g(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 5} \) принимает наименьшее значение. А поскольку квадратный корень — возрастающая функция, знаменатель \( g(x) \) принимает наименьшее значение там, где наименьшее значение принимает подкоренное выражение \( h(x) = x^2 - 4x + 5 \).

Будем искать наименьшее значение функции \( h(x) = x^2 - 4x + 5 \) на интервале \( (-1; 5) \).

Шаг 1: Находим производную \( h(x) \).

\( h'(x) = (x^2 - 4x + 5)' = 2x - 4 \).

Шаг 2: Находим критические точки \( h(x) \).

Приравниваем производную к нулю: \( 2x - 4 = 0 \implies x = 2 \).

Критическая точка: \( x = 2 \), которая принадлежит интервалу \( (-1; 5) \).

Шаг 3: Исследуем знак производной \( h'(x) \).

• Если \( -1 < x < 2 \): \( h'(x) = 2x - 4 < 0 \). Функция \( h(x) \) убывает.
• Если \( 2 < x < 5 \): \( h'(x) = 2x - 4 > 0 \). Функция \( h(x) \) возрастает.

Поскольку при переходе через \( x = 2 \) производная меняет знак с «−» на «+», то \( x = 2 \) является точкой минимума для \( h(x) \).

Шаг 4: Вычисляем наибольшее значение \( f(x) \).

Наибольшее значение \( f(x) \) достигается в точке минимума \( x = 2 \).

При \( x = 2 \):

\( f(2) = \frac{1}{\sqrt{2^2 - 4(2) + 5}} = \frac{1}{\sqrt{4 - 8 + 5}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1 \).

Ответ: Наибольшее значение: \( 1 \).