Решение:
Шаг 1: Составляем функцию, которую нужно минимизировать.
Пусть искомые положительные числа будут \( x \) и \( y \). По условию:
Произведение чисел: \( xy = 625 \implies y = \frac{625}{x} \).
Сумма квадратов: \( Q = x^2 + y^2 \).
Подставим \( y \):
\( Q(x) = x^2 + (\frac{625}{x})^2 = x^2 + \frac{625^2}{x^2} \).
Промежуток для \( x \) — \( (0; +\infty) \), так как числа положительные.
Шаг 2: Находим производную функции.
Перепишем функцию: \( Q(x) = x^2 + 625^2 x^{-2} \).
\( Q'(x) = (x^2 + 625^2 x^{-2})' = 2x - 2 \cdot 625^2 x^{-3} = 2x - \frac{2 \cdot 625^2}{x^3} \).
Шаг 3: Находим критические точки.
Приравниваем производную к нулю (учитывая, что \( x \neq 0 \)):
\( 2x - \frac{2 \cdot 625^2}{x^3} = 0 \)
\( 2x = \frac{2 \cdot 625^2}{x^3} \)
\( x^4 = 625^2 \)
Извлекаем корень (так как \( x > 0 \)):
\( x^2 = 625 \)
\( x = \sqrt{625} = 25 \).
Критическая точка: \( x = 25 \).
Шаг 4: Исследуем знак производной.
Приведём производную к общему знаменателю:
\( Q'(x) = \frac{2x^4 - 2 \cdot 625^2}{x^3} = \frac{2(x^4 - 625^2)}{x^3} \).
Так как \( x > 0 \), знаменатель \( x^3 > 0 \), поэтому знак \( Q'(x) \) совпадает со знаком \( x^4 - 625^2 \).
- Если \( 0 < x < 25 \): \( x^4 < 625^2 \), значит \( Q'(x) < 0 \). Функция убывает.
- Если \( x > 25 \): \( x^4 > 625^2 \), значит \( Q'(x) > 0 \). Функция возрастает.
Поскольку при переходе через \( x = 25 \) производная меняет знак с «−» на «+», то \( x = 25 \) является точкой минимума. Следовательно, сумма квадратов будет наименьшей.
Шаг 5: Находим второе число.
При \( x = 25 \): \( y = \frac{625}{25} = 25 \).
Ответ: Число 625 должно быть записано как произведение чисел \( 25 \) и \( 25 \).