Решение:
Шаг 1: Выражаем площадь треугольника через \( x \).
Рассмотрим равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( AC \), где \( BD \) — высота к основанию, \( D \) — середина \( AC \).
Квадрат со стороной \( a \) вписан так, что одна сторона \( KL \) лежит на \( AC \), а другая сторона \( MN \) лежит внутри треугольника. Но по рисунку 142 сторона квадрата \( KD \) лежит на основании \( AC \).
Будем следовать обозначениям рисунка 142, где \( D \) — середина основания \( AC \), \( B \) — вершина, \( BD \) — высота \( H \).
Квадрат \( DKMN \) (или \( DKAL \), что не соответствует рисунку) со стороной \( a \) вписан так, что сторона \( KD \) (или \( KL \)) лежит на \( AC \), а противоположные вершины \( M, N \) (или \( A, B \)) лежат на боковых сторонах треугольника. По рисунку, сторона квадрата \( AD \) (или \( AC \)) лежит на основании, а две вершины лежат на боковых сторонах.
На рисунке 142: Квадрат \( KLMD \). Сторона квадрата \( a \). \( D \) — точка на основании \( AC \). \( B \) — вершина. \( BK \) — высота треугольника \( \triangle ABD \). Это сбивает с толку, так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
Интерпретация по рисунку: Пусть \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \). \( BD \) — высота к \( AC \). Квадрат со стороной \( a \). Вершина \( K \) квадрата на \( BD \). \( KL \) и \( KM \) на боковых сторонах. Сторона квадрата, лежащая на основании, должна быть \( a \). Пусть \( H \) — высота треугольника \( BD \). Сторона квадрата, лежащая на основании, имеет длину \( a \). Пусть \( 2a \) — основание квадрата. Нет. Сторона квадрата \( a \).
Корректная интерпретация (стандартная задача на экстремум): Пусть \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( BD \) — его высота, \( BD = H \). Сторона квадрата, лежащая на основании \( AC \), имеет длину \( a \). Пусть \( 2x \) — длина основания \( AC \). Тогда \( AD = x \).
Вписанный квадрат \( M N P Q \) со стороной \( a \) имеет \( PQ \) на основании \( AC \).
Из подобия прямоугольных треугольников \( \triangle BND \) и \( \triangle BQA \) (где \( BQ \) — половина основания):
\( \frac{H - a}{a/2} = \frac{H}{x} \). \( a \) — сторона квадрата. \( 2x \) — основание.
Пояснение к Рисунку 142: В равнобедренный треугольник \( ABC \) (основание \( AC \)) вписан квадрат \( KLMD \), где \( D \) — середина \( AC \), \( a \) — сторона квадрата. \( BD \) — высота. \( BK = x \).
Если \( a \) — сторона квадрата \( KLMD \), то \( KD = a \) и \( KM = a \). Высота треугольника \( BD = BK + KD = x + a \).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BDA \). Квадрат \( KLMD \) вписан так, что \( M \) лежит на \( AB \). Из подобия \( \triangle BKM \sim \triangle BDA \):
\( \frac{BK}{BD} = \frac{KM}{AD} \)
\( \frac{x}{x + a} = \frac{a}{AD} \implies AD = \frac{a(x + a)}{x} \).
Основание треугольника \( AC = 2 \cdot AD = \frac{2a(x + a)}{x} \).
Высота треугольника \( H = BD = x + a \).
Площадь треугольника \( S(x) = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot H = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a(x + a)}{x} \cdot (x + a) = \frac{a(x + a)^2}{x} \).
Область определения \( x > 0 \).
Шаг 2: Находим производную функции площади.
\( S'(x) = a \cdot (\frac{(x + a)^2}{x})' = a \cdot \frac{2(x + a) \cdot 1 \cdot x - (x + a)^2 \cdot 1}{x^2} \)
\( S'(x) = a \cdot \frac{(x + a) [2x - (x + a)]}{x^2} = a \cdot \frac{(x + a)(x - a)}{x^2} \).
Шаг 3: Находим критические точки.
Приравниваем производную к нулю (при \( x > 0 \)):
\( a \cdot \frac{(x + a)(x - a)}{x^2} = 0 \)
\( (x + a)(x - a) = 0 \).
Так как \( x > 0 \) и \( a > 0 \), то \( x + a > 0 \). Следовательно, \( x - a = 0 \implies x = a \).
Критическая точка: \( x = a \).
Шаг 4: Исследуем знак производной.
На промежутке \( (0; +\infty) \), \( a > 0 \), \( x + a > 0 \), \( x^2 > 0 \). Знак \( S'(x) \) совпадает со знаком \( x - a \).
- Если \( 0 < x < a \): \( x - a < 0 \). Значит, \( S'(x) < 0 \). Функция убывает.
- Если \( x > a \): \( x - a > 0 \). Значит, \( S'(x) > 0 \). Функция возрастает.
Поскольку при переходе через \( x = a \) производная меняет знак с «−» на «+», то \( x = a \) является точкой минимума. Площадь треугольника будет наименьшей.
Ответ: Площадь треугольника наименьшая при \( x = a \).