Решение:
Шаг 1: Составляем функцию, которую нужно минимизировать.
Пусть стороны прямоугольника равны \( x \) и \( y \). По условию:
Площадь: \( S = xy = 9 \implies y = \frac{9}{x} \).
Периметр: \( P = 2(x + y) \).
Подставим \( y \):
\( P(x) = 2(x + \frac{9}{x}) = 2x + \frac{18}{x} \).
Промежуток для \( x \) — \( (0; +\infty) \), так как \( x \) — длина стороны.
Шаг 2: Находим производную функции.
Перепишем функцию: \( P(x) = 2x + 18x^{-1} \).
\( P'(x) = (2x + 18x^{-1})' = 2 - 18x^{-2} = 2 - \frac{18}{x^2} = \frac{2x^2 - 18}{x^2} = \frac{2(x^2 - 9)}{x^2} \).
Шаг 3: Находим критические точки.
Приравниваем производную к нулю (учитывая, что \( x \neq 0 \)):
\( 2(x^2 - 9) = 0 \implies x^2 = 9 \)
Так как \( x > 0 \): \( x = 3 \).
Критическая точка: \( x = 3 \).
Шаг 4: Исследуем знак производной.
Так как \( x > 0 \), знаменатель \( x^2 > 0 \), поэтому знак \( P'(x) \) совпадает со знаком числителя \( 2(x^2 - 9) \).
- Если \( 0 < x < 3 \): \( x^2 < 9 \), значит \( P'(x) < 0 \). Функция убывает.
- Если \( x > 3 \): \( x^2 > 9 \), значит \( P'(x) > 0 \). Функция возрастает.
Поскольку при переходе через \( x = 3 \) производная меняет знак с «−» на «+», то \( x = 3 \) является точкой минимума. Периметр будет наименьшим.
Шаг 5: Находим вторую сторону.
При \( x = 3 \): \( y = \frac{9}{3} = 3 \).
Так как \( x = y = 3 \text{ см} \), то искомый прямоугольник — это квадрат.
Ответ: Прямоугольник с наименьшим периметром — это квадрат со стороной \( 3 \text{ см} \).