ГДЗ: Упражнение 266 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Необходимо найти показатель степени \( x \), в которую нужно возвести основание \( 3 \), чтобы получить число \( 3 \). Искомый логарифм — это \( \log_3 3 \). По определению логарифма, \( 3^x = 3 \). Так как \( 3 = 3^1 \), то \( 3^x = 3^1 \), следовательно, \( x = 1 \). Это также следует из свойства: \( \log_a a = 1 \).
Ответ: \( 1 \)
2)
\( 9 \)
Ответ
Необходимо найти \( \log_3 9 \). По определению логарифма, \( 3^x = 9 \). Так как \( 9 = 3^2 \), то \( 3^x = 3^2 \), следовательно, \( x = 2 \).
Ответ: \( 2 \)
3)
\( 27 \)
Ответ
Необходимо найти \( \log_3 27 \). По определению логарифма, \( 3^x = 27 \). Так как \( 27 = 3^3 \), то \( 3^x = 3^3 \), следовательно, \( x = 3 \).
Ответ: \( 3 \)
4)
\( 81 \)
Ответ
Необходимо найти \( \log_3 81 \). По определению логарифма, \( 3^x = 81 \). Так как \( 81 = 3^4 \), то \( 3^x = 3^4 \), следовательно, \( x = 4 \).
Ответ: \( 4 \)
5)
\( 1 \)
Ответ
Необходимо найти \( \log_3 1 \). По определению логарифма, \( 3^x = 1 \). Так как \( 1 = 3^0 \), то \( 3^x = 3^0 \), следовательно, \( x = 0 \). Это также следует из свойства: \( \log_a 1 = 0 \).
Ответ: \( 0 \)
6)
\( \frac{1}{3} \)
Ответ
Необходимо найти \( \log_3 \frac{1}{3} \). По определению логарифма, \( 3^x = \frac{1}{3} \). Так как \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \), то \( 3^x = 3^{-1} \), следовательно, \( x = -1 \).
Ответ: \( -1 \)
7)
\( \frac{1}{9} \)
Ответ
Необходимо найти \( \log_3 \frac{1}{9} \). По определению логарифма, \( 3^x = \frac{1}{9} \). Так как \( \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} \), то \( 3^x = 3^{-2} \), следовательно, \( x = -2 \).
Ответ: \( -2 \)
8)
\( \frac{1}{243} \)
Ответ
Необходимо найти \( \log_3 \frac{1}{243} \). По определению логарифма, \( 3^x = \frac{1}{243} \). Так как \( 243 = 3^5 \), то \( \frac{1}{243} = 3^{-5} \). Следовательно, \( 3^x = 3^{-5} \), откуда \( x = -5 \).
Ответ: \( -5 \)
9)
\( \sqrt{3} \)
Ответ
Необходимо найти \( \log_3 \sqrt{3} \). По определению логарифма, \( 3^x = \sqrt{3} \). Так как \( \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} \), то \( 3^x = 3^{\frac{1}{2}} \), следовательно, \( x = \frac{1}{2} \).
Ответ: \( \frac{1}{2} \)
10)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
Ответ
Необходимо найти \( \log_3 \frac{1}{\sqrt{3}} \). По определению логарифма, \( 3^x = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Так как \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = 3^{-\frac{1}{2}} \), то \( 3^x = 3^{-\frac{1}{2}} \), следовательно, \( x = -\frac{1}{2} \).
Ответ: \( -\frac{1}{2} \)
11)
\( 9\sqrt{3} \)
Ответ
Необходимо найти \( \log_3 (9\sqrt{3}) \). Перепишем аргумент логарифма в виде степени с основанием \( 3 \): \( 9\sqrt{3} = 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{2 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}} \). Тогда \( \log_3 (9\sqrt{3}) = \log_3 3^{\frac{5}{2}} \). По свойству \( \log_a a^p = p \), получаем \( \frac{5}{2} \).
Ответ: \( \frac{5}{2} \)
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени \( x \), в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить число \( b \). Обозначается \( \log_a b \).
Если \( a^x = b \), то \( x = \log_a b \), где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( b > 0 \).
Основное логарифмическое тождество
Основание логарифма, возведенное в степень, равную логарифму числа по этому основанию, равно самому числу.
\( a^{\log_a b} = b \)
Область определения логарифмической функции
Логарифм \( \log_a f(x) \) существует только при выполнении трех условий: 1) основание логарифма \( a > 0 \); 2) основание логарифма \( a \neq 1 \); 3) аргумент логарифма \( f(x) > 0 \).
Для \( \log_a f(x) \) должно быть: \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( f(x) > 0 \).
Свойства логарифмов
Основные свойства для преобразования выражений:
Логарифм произведения: \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
Логарифм частного: \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)
Логарифм степени: \( \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Следствие формулы перехода: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)
Частные случаи логарифмов
Логарифм единицы равен нулю, а логарифм основания равен единице.
\( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \)
Логарифмическое уравнение (простейшее)
Уравнение вида \( \log_a x = b \) решается по определению логарифма.
Если \( \log_a x = b \), то \( x = a^b \). Обязательно проверить условие \( x > 0 \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
