ГДЗ: Упражнение 271 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Основание \( a = \frac{1}{2} = 2^{-1} \). Аргумент \( b = \frac{1}{32} = 2^{-5} = (2^{-1})^5 = (\frac{1}{2})^5 \). Тогда \( \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^5 = 5 \).
Ответ: \( 5 \)
2)
\( \log_{\frac{1}{2}} 4 \)
Ответ
Основание \( a = \frac{1}{2} \). Аргумент \( b = 4 \). По определению: \( (\frac{1}{2})^x = 4 \). Так как \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \) и \( 4 = 2^2 \), то \( (2^{-1})^x = 2^2 \), или \( 2^{-x} = 2^2 \). Откуда \( -x = 2 \), то есть \( x = -2 \).
Ответ: \( -2 \)
3)
\( \log_{0,5} 0,125 \)
Ответ
Основание \( a = 0,5 = \frac{1}{2} \). Аргумент \( b = 0,125 = \frac{1}{8} \). По определению: \( (0,5)^x = 0,125 \). Так как \( 0,125 = (0,5)^3 \), то \( (0,5)^x = (0,5)^3 \), откуда \( x = 3 \).
Ответ: \( 3 \)
4)
\( \log_{0,5} \frac{1}{2} \)
Ответ
Основание \( a = 0,5 \). Аргумент \( b = \frac{1}{2} = 0,5 \). По свойству \( \log_a a = 1 \), получаем \( 1 \).
Ответ: \( 1 \)
5)
\( \log_{0,5} 1 \)
Ответ
По свойству \( \log_a 1 = 0 \), получаем \( 0 \).
Ответ: \( 0 \)
6)
\( \log_4 \sqrt{2} \)
Ответ
Основание \( a = 4 = 2^2 \). Аргумент \( b = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \). По определению: \( 4^x = \sqrt{2} \). \( (2^2)^x = 2^{\frac{1}{2}} \), или \( 2^{2x} = 2^{\frac{1}{2}} \). Откуда \( 2x = \frac{1}{2} \), то есть \( x = \frac{1}{4} \).
Ответ: \( \frac{1}{4} \)
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени \( x \), в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить число \( b \). Обозначается \( \log_a b \).
Если \( a^x = b \), то \( x = \log_a b \), где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( b > 0 \).
Основное логарифмическое тождество
Основание логарифма, возведенное в степень, равную логарифму числа по этому основанию, равно самому числу.
\( a^{\log_a b} = b \)
Область определения логарифмической функции
Логарифм \( \log_a f(x) \) существует только при выполнении трех условий: 1) основание логарифма \( a > 0 \); 2) основание логарифма \( a \neq 1 \); 3) аргумент логарифма \( f(x) > 0 \).
Для \( \log_a f(x) \) должно быть: \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( f(x) > 0 \).
Свойства логарифмов
Основные свойства для преобразования выражений:
Логарифм произведения: \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
Логарифм частного: \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)
Логарифм степени: \( \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Следствие формулы перехода: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)
Частные случаи логарифмов
Логарифм единицы равен нулю, а логарифм основания равен единице.
\( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \)
Логарифмическое уравнение (простейшее)
Уравнение вида \( \log_a x = b \) решается по определению логарифма.
Если \( \log_a x = b \), то \( x = a^b \). Обязательно проверить условие \( x > 0 \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
