ГДЗ: Упражнение 286 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Данное уравнение является показательным. Заметим, что \( 7^{2x} = (7^x)^2 \). Шаг 1: Введем замену переменной. Пусть \( y = 7^x \). Так как \( 7^x > 0 \), то \( y > 0 \). Уравнение принимает вид: \( y^2 + y - 12 = 0 \). Шаг 2: Решим квадратное уравнение. Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант. Корни: \( y_1 = -4 \) и \( y_2 = 3 \). Проверка: \( -4 + 3 = -1 \), \( (-4) \cdot 3 = -12 \). Шаг 3: Вернемся к исходной переменной. Так как \( y > 0 \), корень \( y_1 = -4 \) отбрасываем. Остается \( y = 3 \). \( 7^x = 3 \). Шаг 4: Решим показательное уравнение с помощью логарифма. \( x = \log_7 3 \).
Ответ: \( x = \log_7 3 \)
2)
9^x - 3^x - 12 = 0
Ответ
Данное уравнение является показательным. Заметим, что \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \). Шаг 1: Введем замену переменной. Пусть \( y = 3^x \). Так как \( 3^x > 0 \), то \( y > 0 \). Уравнение принимает вид: \( y^2 - y - 12 = 0 \). Шаг 2: Решим квадратное уравнение. Найдем корни. Корни: \( y_1 = 4 \) и \( y_2 = -3 \). Проверка: \( 4 + (-3) = 1 \), \( 4 \cdot (-3) = -12 \). Шаг 3: Вернемся к исходной переменной. Так как \( y > 0 \), корень \( y_2 = -3 \) отбрасываем. Остается \( y = 4 \). \( 3^x = 4 \). Шаг 4: Решим показательное уравнение с помощью логарифма. \( x = \log_3 4 \).
Ответ: \( x = \log_3 4 \)
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени \( x \), в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить число \( b \). Обозначается \( \log_a b \).
Если \( a^x = b \), то \( x = \log_a b \), где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( b > 0 \).
Основное логарифмическое тождество
Основание логарифма, возведенное в степень, равную логарифму числа по этому основанию, равно самому числу.
\( a^{\log_a b} = b \)
Область определения логарифмической функции
Логарифм \( \log_a f(x) \) существует только при выполнении трех условий: 1) основание логарифма \( a > 0 \); 2) основание логарифма \( a \neq 1 \); 3) аргумент логарифма \( f(x) > 0 \).
Для \( \log_a f(x) \) должно быть: \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( f(x) > 0 \).
Свойства логарифмов
Основные свойства для преобразования выражений:
Логарифм произведения: \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
Логарифм частного: \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)
Логарифм степени: \( \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Следствие формулы перехода: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)
Частные случаи логарифмов
Логарифм единицы равен нулю, а логарифм основания равен единице.
\( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \)
Логарифмическое уравнение (простейшее)
Уравнение вида \( \log_a x = b \) решается по определению логарифма.
Если \( \log_a x = b \), то \( x = a^b \). Обязательно проверить условие \( x > 0 \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
