ГДЗ: Упражнение 282 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Уравнение вида \( \log_a b = c \) решается по определению логарифма: \( a^c = b \).
Здесь \( a = x \), \( b = 27 \), \( c = 3 \).
Шаг 1: Применим определение логарифма.
\( x^3 = 27 \).
Шаг 2: Решим уравнение.
\( x^3 = 3^3 \).
Поскольку степень нечетная, \( x = 3 \).
Шаг 3: Проверим условия на основание логарифма: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).
\( 3 > 0 \) и \( 3 \neq 1 \). Условия выполняются.

Применим определение логарифма: \( x^{-1} = \frac{1}{7} \).
Шаг 1: Упростим левую часть.
\( \frac{1}{x} = \frac{1}{7} \).
Шаг 2: Решим уравнение.
\( x = 7 \).
Шаг 3: Проверим условия на основание логарифма: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).
\( 7 > 0 \) и \( 7 \neq 1 \). Условия выполняются.

Применим определение логарифма: \( x^{-4} = \sqrt{5} \).
Шаг 1: Перепишем обе части в виде степеней.
\( \frac{1}{x^4} = 5^{\frac{1}{2}} \).
Шаг 2: Выразим \( x^4 \).
\( x^4 = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}} = 5^{-\frac{1}{2}} \).
Шаг 3: Найдем \( x \). Так как \( x > 0 \) (условие на основание логарифма), то \( x = \pm \sqrt[4]{5^{-\frac{1}{2}}} \) и учитываем только положительный корень.
\( x = (5^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} = 5^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}} = 5^{-\frac{1}{8}} \).
Или \( x = \frac{1}{\sqrt[8]{5}} \).
Шаг 4: Проверим условие на основание логарифма: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).
\( 5^{-\frac{1}{8}} > 0 \) и \( 5^{-\frac{1}{8}} \neq 1 \). Условия выполняются, так как \( 5 \neq 1 \).

Применим определение логарифма: \( x^4 = 81 \).
Шаг 1: Решим уравнение.
\( x^4 = 3^4 \).
Поскольку степень четная, \( x = \pm 3 \).
Шаг 2: Проверим условия на основание логарифма: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).
Корень \( x = -3 \) не удовлетворяет условию \( x > 0 \).
Корень \( x = 3 \) удовлетворяет условиям \( 3 > 0 \) и \( 3 \neq 1 \).