ГДЗ: Упражнение 275 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \).
\( 3^{\log_3 2} = 2 \).

Воспользуемся свойством \( p \log_a b = \log_a b^p \):
\( 6 \log_{\frac{1}{2}} 2 = \log_{\frac{1}{2}} 2^6 = \log_{\frac{1}{2}} 64 \).
Вычислим логарифм: \( (\frac{1}{2})^x = 64 \). Так как \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \) и \( 64 = 2^6 \), то \( (2^{-1})^x = 2^6 \), \( 2^{-x} = 2^6 \), откуда \( x = -6 \).
Таким образом, \( 6 \log_{\frac{1}{2}} 2 = -6 \).
Подставим в исходное выражение: \( (\frac{1}{2})^{-6} = (2^{-1})^{-6} = 2^6 = 64 \).
Альтернативный способ:
\( (\frac{1}{2})^{6 \log_{\frac{1}{2}} 2} = ( (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 2} )^6 \).
Используем основное логарифмическое тождество: \( (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 2} = 2 \).
Тогда выражение равно \( 2^6 = 64 \).

Воспользуемся свойством \( p \log_a b = \log_a b^p \):
\( 2 \log_{0,3} 4 = \log_{0,3} 4^2 = \log_{0,3} 16 \).
Подставим в исходное выражение: \( 0,3^{2 \log_{0,3} 4} = 0,3^{\log_{0,3} 16} \).
Используем основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \).
\( 0,3^{\log_{0,3} 16} = 16 \).

Воспользуемся свойством \( p \log_a b = \log_a b^p \):
\( 2 \log_4 7 = \log_4 7^2 = \log_4 49 \).
Подставим в исходное выражение: \( 4^{2 \log_4 7} = 4^{\log_4 49} \).
Используем основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \).
\( 4^{\log_4 49} = 49 \).