ГДЗ: Упражнение 281 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Вычислим логарифмы изнутри наружу. Шаг 1: Вычислим внутренний логарифм: \( \log_3 81 \). \( \log_3 81 = 4 \), так как \( 3^4 = 81 \). Шаг 2: Подставим результат во внешний логарифм: \( \log_2 (\log_3 81) = \log_2 4 \). \( \log_2 4 = 2 \), так как \( 2^2 = 4 \).
Ответ: \( 2 \)
2)
\( \log_3 \log_2 8 \)
Ответ
Вычислим логарифмы изнутри наружу. Шаг 1: Вычислим внутренний логарифм: \( \log_2 8 \). \( \log_2 8 = 3 \), так как \( 2^3 = 8 \). Шаг 2: Подставим результат во внешний логарифм: \( \log_3 (\log_2 8) = \log_3 3 \). \( \log_3 3 = 1 \), так как \( \log_a a = 1 \).
Ответ: \( 1 \)
3)
\( \log_{27} \log_{10} 1000 \)
Ответ
Вычислим логарифмы изнутри наружу. Шаг 1: Вычислим внутренний логарифм: \( \log_{10} 1000 \). \( \log_{10} 1000 = 3 \), так как \( 10^3 = 1000 \). Шаг 2: Подставим результат во внешний логарифм: \( \log_{27} (\log_{10} 1000) = \log_{27} 3 \). Пусть \( \log_{27} 3 = x \). По определению логарифма: \( 27^x = 3 \). Перейдем к общему основанию \( 3 \): \( (3^3)^x = 3^1 \), или \( 3^{3x} = 3^1 \). Откуда \( 3x = 1 \), то есть \( x = \frac{1}{3} \).
Ответ: \( \frac{1}{3} \)
4)
\( \frac{1}{3} \log_9 \log_2 8 \)
Ответ
Вычислим логарифмы изнутри наружу. Шаг 1: Вычислим внутренний логарифм: \( \log_2 8 \). \( \log_2 8 = 3 \), так как \( 2^3 = 8 \). Шаг 2: Подставим результат в выражение: \( \frac{1}{3} \log_9 (\log_2 8) = \frac{1}{3} \log_9 3 \). Шаг 3: Вычислим \( \log_9 3 \). Пусть \( \log_9 3 = x \). По определению: \( 9^x = 3 \). Перейдем к основанию \( 3 \): \( (3^2)^x = 3^1 \), или \( 3^{2x} = 3^1 \). Откуда \( 2x = 1 \), то есть \( x = \frac{1}{2} \). Шаг 4: Окончательно вычислим выражение: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \).
Ответ: \( \frac{1}{6} \)
5)
\( 3 \log_2 \log_4 16 + \log_2 1 \)
Ответ
Вычислим логарифмы. Шаг 1: Вычислим самый внутренний логарифм: \( \log_4 16 \). \( \log_4 16 = 2 \), так как \( 4^2 = 16 \). Шаг 2: Вычислим второй логарифм: \( \log_2 (\log_4 16) = \log_2 2 \). \( \log_2 2 = 1 \), так как \( \log_a a = 1 \). Шаг 3: Вычислим последнее слагаемое: \( \log_2 1 \). \( \log_2 1 = 0 \), так как \( \log_a 1 = 0 \). Шаг 4: Подставим значения в исходное выражение: \( 3 \cdot 1 + 0 = 3 \).
Ответ: \( 3 \)
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени \( x \), в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить число \( b \). Обозначается \( \log_a b \).
Если \( a^x = b \), то \( x = \log_a b \), где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( b > 0 \).
Основное логарифмическое тождество
Основание логарифма, возведенное в степень, равную логарифму числа по этому основанию, равно самому числу.
\( a^{\log_a b} = b \)
Область определения логарифмической функции
Логарифм \( \log_a f(x) \) существует только при выполнении трех условий: 1) основание логарифма \( a > 0 \); 2) основание логарифма \( a \neq 1 \); 3) аргумент логарифма \( f(x) > 0 \).
Для \( \log_a f(x) \) должно быть: \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( f(x) > 0 \).
Свойства логарифмов
Основные свойства для преобразования выражений:
Логарифм произведения: \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
Логарифм частного: \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)
Логарифм степени: \( \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Следствие формулы перехода: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)
Частные случаи логарифмов
Логарифм единицы равен нулю, а логарифм основания равен единице.
\( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \)
Логарифмическое уравнение (простейшее)
Уравнение вида \( \log_a x = b \) решается по определению логарифма.
Если \( \log_a x = b \), то \( x = a^b \). Обязательно проверить условие \( x > 0 \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
