ГДЗ: Упражнение 288 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
При каких значениях \( x \) имеет смысл выражение:
1)
\( \log_x (2x - 1) \)
Ответ
Логарифм \( \log_a f(x) \) существует при выполнении трех условий: 1. Аргумент \( > 0 \): \( 2x - 1 > 0 \). 2. Основание \( > 0 \): \( x > 0 \). 3. Основание \( \neq 1 \): \( x \neq 1 \). Шаг 1: Решим первое условие: \( 2x - 1 > 0 \Rightarrow 2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2} \). Шаг 2: Учтем второе условие: \( x > \frac{1}{2} \) уже включает условие \( x > 0 \). Шаг 3: Учтем третье условие: \( x \neq 1 \). Объединяя все условия, получим: \( x > \frac{1}{2} \) и \( x \neq 1 \). Таким образом, выражение имеет смысл при \( x \in (\frac{1}{2}; 1) \cup (1; +\infty) \).
Ответ: \( \frac{1}{2} < x < 1 \) или \( x > 1 \)
2)
\( \log_{2x - 1} (x + 1) \)
Ответ
Логарифм \( \log_a f(x) \) существует при выполнении трех условий: 1. Аргумент \( > 0 \): \( x + 1 > 0 \). 2. Основание \( > 0 \): \( 2x - 1 > 0 \). 3. Основание \( \neq 1 \): \( 2x - 1 \neq 1 \). Шаг 1: Решим первое условие: \( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \). Шаг 2: Решим второе условие: \( 2x - 1 > 0 \Rightarrow 2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2} \). Шаг 3: Решим третье условие: \( 2x - 1 \neq 1 \Rightarrow 2x \neq 2 \Rightarrow x \neq 1 \). Шаг 4: Найдем пересечение всех условий: Условия \( x > -1 \) и \( x > \frac{1}{2} \) вместе дают \( x > \frac{1}{2} \). Исключаем \( x = 1 \). Таким образом, выражение имеет смысл при \( x \in (\frac{1}{2}; 1) \cup (1; +\infty) \).
Ответ: \( \frac{1}{2} < x < 1 \) или \( x > 1 \)
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени \( x \), в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить число \( b \). Обозначается \( \log_a b \).
Если \( a^x = b \), то \( x = \log_a b \), где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( b > 0 \).
Основное логарифмическое тождество
Основание логарифма, возведенное в степень, равную логарифму числа по этому основанию, равно самому числу.
\( a^{\log_a b} = b \)
Область определения логарифмической функции
Логарифм \( \log_a f(x) \) существует только при выполнении трех условий: 1) основание логарифма \( a > 0 \); 2) основание логарифма \( a \neq 1 \); 3) аргумент логарифма \( f(x) > 0 \).
Для \( \log_a f(x) \) должно быть: \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( f(x) > 0 \).
Свойства логарифмов
Основные свойства для преобразования выражений:
Логарифм произведения: \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
Логарифм частного: \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)
Логарифм степени: \( \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Следствие формулы перехода: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)
Частные случаи логарифмов
Логарифм единицы равен нулю, а логарифм основания равен единице.
\( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \)
Логарифмическое уравнение (простейшее)
Уравнение вида \( \log_a x = b \) решается по определению логарифма.
Если \( \log_a x = b \), то \( x = a^b \). Обязательно проверить условие \( x > 0 \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
