ГДЗ: Упражнение 273 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
По определению: \( (\frac{1}{5})^x = 125 \). Так как \( \frac{1}{5} = 5^{-1} \) и \( 125 = 5^3 \), то \( (5^{-1})^x = 5^3 \), или \( 5^{-x} = 5^3 \). Откуда \( -x = 3 \), то есть \( x = -3 \).
Ответ: \( -3 \)
2)
\( \log_9 27 \)
Ответ
По определению: \( 9^x = 27 \). Перейдем к общему основанию \( 3 \): \( (3^2)^x = 3^3 \), или \( 3^{2x} = 3^3 \). Откуда \( 2x = 3 \), то есть \( x = \frac{3}{2} \).
Ответ: \( \frac{3}{2} \)
3)
\( \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} \)
Ответ
Основание \( a = \frac{1}{4} \). Аргумент \( b = \frac{1}{64} = (\frac{1}{4})^3 \). Тогда \( \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} = \log_{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4})^3 = 3 \).
Ответ: \( 3 \)
4)
\( \log_{\sqrt{6}} 36 \)
Ответ
По определению: \( (\sqrt{6})^x = 36 \). Перейдем к общему основанию \( 6 \): \( (6^{\frac{1}{2}})^x = 6^2 \), или \( 6^{\frac{1}{2}x} = 6^2 \). Откуда \( \frac{1}{2}x = 2 \), то есть \( x = 4 \).
Ответ: \( 4 \)
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени \( x \), в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить число \( b \). Обозначается \( \log_a b \).
Если \( a^x = b \), то \( x = \log_a b \), где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( b > 0 \).
Основное логарифмическое тождество
Основание логарифма, возведенное в степень, равную логарифму числа по этому основанию, равно самому числу.
\( a^{\log_a b} = b \)
Область определения логарифмической функции
Логарифм \( \log_a f(x) \) существует только при выполнении трех условий: 1) основание логарифма \( a > 0 \); 2) основание логарифма \( a \neq 1 \); 3) аргумент логарифма \( f(x) > 0 \).
Для \( \log_a f(x) \) должно быть: \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( f(x) > 0 \).
Свойства логарифмов
Основные свойства для преобразования выражений:
Логарифм произведения: \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
Логарифм частного: \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)
Логарифм степени: \( \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Следствие формулы перехода: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)
Частные случаи логарифмов
Логарифм единицы равен нулю, а логарифм основания равен единице.
\( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \)
Логарифмическое уравнение (простейшее)
Уравнение вида \( \log_a x = b \) решается по определению логарифма.
Если \( \log_a x = b \), то \( x = a^b \). Обязательно проверить условие \( x > 0 \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
