ГДЗ: Упражнение 285 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Уравнение вида \( a^x = b \) является показательным. Так как \( 5 \) не является целой степенью \( 2 \), для решения используем определение логарифма. Шаг 1: Применим определение логарифма. Если \( 2^x = 5 \), то \( x = \log_2 5 \).
Ответ: \( x = \log_2 5 \)
2)
\( 1,2^x = 4 \)
Ответ
Уравнение вида \( a^x = b \). Применим определение логарифма. Если \( 1,2^x = 4 \), то \( x = \log_{1,2} 4 \).
Ответ: \( x = \log_{1,2} 4 \)
3)
\( 4^{2x + 3} = 5 \)
Ответ
Уравнение вида \( a^y = b \), где \( y = 2x + 3 \). Шаг 1: Применим определение логарифма. \( 2x + 3 = \log_4 5 \). Шаг 2: Решим линейное уравнение относительно \( x \). \( 2x = \log_4 5 - 3 \) \( x = \frac{1}{2} (\log_4 5 - 3) \).
Ответ: \( x = \frac{1}{2} (\log_4 5 - 3) \)
4)
\( 7^{1 - 2x} = 2 \)
Ответ
Уравнение вида \( a^y = b \), где \( y = 1 - 2x \). Шаг 1: Применим определение логарифма. \( 1 - 2x = \log_7 2 \). Шаг 2: Решим линейное уравнение относительно \( x \). \( -2x = \log_7 2 - 1 \) \( 2x = 1 - \log_7 2 \) \( x = \frac{1}{2} (1 - \log_7 2) \). Дополнительное упрощение: \( 1 = \log_7 7 \). Тогда \( 1 - \log_7 2 = \log_7 7 - \log_7 2 = \log_7 \frac{7}{2} \). Ответ также можно записать как \( x = \frac{1}{2} \log_7 3,5 \).
Ответ: \( x = \frac{1}{2} (1 - \log_7 2) \) или \( x = \frac{1}{2} \log_7 3,5 \)
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени \( x \), в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить число \( b \). Обозначается \( \log_a b \).
Если \( a^x = b \), то \( x = \log_a b \), где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( b > 0 \).
Основное логарифмическое тождество
Основание логарифма, возведенное в степень, равную логарифму числа по этому основанию, равно самому числу.
\( a^{\log_a b} = b \)
Область определения логарифмической функции
Логарифм \( \log_a f(x) \) существует только при выполнении трех условий: 1) основание логарифма \( a > 0 \); 2) основание логарифма \( a \neq 1 \); 3) аргумент логарифма \( f(x) > 0 \).
Для \( \log_a f(x) \) должно быть: \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( f(x) > 0 \).
Свойства логарифмов
Основные свойства для преобразования выражений:
Логарифм произведения: \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
Логарифм частного: \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)
Логарифм степени: \( \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Следствие формулы перехода: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)
Частные случаи логарифмов
Логарифм единицы равен нулю, а логарифм основания равен единице.
\( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \)
Логарифмическое уравнение (простейшее)
Уравнение вида \( \log_a x = b \) решается по определению логарифма.
Если \( \log_a x = b \), то \( x = a^b \). Обязательно проверить условие \( x > 0 \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
