ГДЗ: Упражнение 278 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Выяснить, при каких значениях \( x \) существует логарифм:
1)
\( \log_4 (4 - x) \)
Ответ
Логарифм \( \log_a f(x) \) существует, если \( f(x) > 0 \), \( a > 0 \), и \( a \neq 1 \). Здесь основание \( a = 4 \). Условия \( 4 > 0 \) и \( 4 \neq 1 \) выполнены. Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля: \( 4 - x > 0 \). Решаем неравенство: \( -x > -4 \) \( x < 4 \). Таким образом, логарифм существует при \( x \in (-\infty; 4) \).
Ответ: \( x < 4 \)
2)
\( \log_{0,2} (7 - x) \)
Ответ
Основание \( a = 0,2 \). Условия \( 0,2 > 0 \) и \( 0,2 \neq 1 \) выполнены. Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля: \( 7 - x > 0 \). Решаем неравенство: \( -x > -7 \) \( x < 7 \). Таким образом, логарифм существует при \( x \in (-\infty; 7) \).
Ответ: \( x < 7 \)
3)
\( \log_6 \frac{1}{1 - 2x} \)
Ответ
Основание \( a = 6 \). Условия \( 6 > 0 \) и \( 6 \neq 1 \) выполнены. Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля: \( \frac{1}{1 - 2x} > 0 \). Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель \( 1 > 0 \), то знаменатель также должен быть положительным: \( 1 - 2x > 0 \). Решаем неравенство: \( -2x > -1 \) \( 2x < 1 \) \( x < \frac{1}{2} \). Таким образом, логарифм существует при \( x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \).
Ответ: \( x < \frac{1}{2} \)
4)
\( \log_8 \frac{5}{2x - 1} \)
Ответ
Основание \( a = 8 \). Условия \( 8 > 0 \) и \( 8 \neq 1 \) выполнены. Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля: \( \frac{5}{2x - 1} > 0 \). Дробь положительна. Так как числитель \( 5 > 0 \), то знаменатель также должен быть положительным: \( 2x - 1 > 0 \). Решаем неравенство: \( 2x > 1 \) \( x > \frac{1}{2} \). Таким образом, логарифм существует при \( x \in (\frac{1}{2}; +\infty) \).
Ответ: \( x > \frac{1}{2} \)
5)
\( \log_2 (-(x^2)) \)
Ответ
Основание \( a = 2 \). Условия \( 2 > 0 \) и \( 2 \neq 1 \) выполнены. Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля: \( -x^2 > 0 \). Так как \( x^2 \ge 0 \) для любого действительного \( x \), то \( -x^2 \le 0 \). Следовательно, неравенство \( -x^2 > 0 \) не имеет решений. Таким образом, логарифм не существует ни при каких действительных значениях \( x \).
Ответ: Логарифм не существует ни при каких \( x \in \mathbb{R} \).
6)
\( \log_{0,7} (2x^3) \)
Ответ
Основание \( a = 0,7 \). Условия \( 0,7 > 0 \) и \( 0,7 \neq 1 \) выполнены. Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля: \( 2x^3 > 0 \). Так как \( 2 > 0 \), то неравенство эквивалентно: \( x^3 > 0 \). Это неравенство выполняется, когда \( x > 0 \). Таким образом, логарифм существует при \( x \in (0; +\infty) \).
Ответ: \( x > 0 \)
Что применять при решении
Определение логарифма
Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени \( x \), в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить число \( b \). Обозначается \( \log_a b \).
Если \( a^x = b \), то \( x = \log_a b \), где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( b > 0 \).
Основное логарифмическое тождество
Основание логарифма, возведенное в степень, равную логарифму числа по этому основанию, равно самому числу.
\( a^{\log_a b} = b \)
Область определения логарифмической функции
Логарифм \( \log_a f(x) \) существует только при выполнении трех условий: 1) основание логарифма \( a > 0 \); 2) основание логарифма \( a \neq 1 \); 3) аргумент логарифма \( f(x) > 0 \).
Для \( \log_a f(x) \) должно быть: \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( f(x) > 0 \).
Свойства логарифмов
Основные свойства для преобразования выражений:
Логарифм произведения: \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
Логарифм частного: \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)
Логарифм степени: \( \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Следствие формулы перехода: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)
Частные случаи логарифмов
Логарифм единицы равен нулю, а логарифм основания равен единице.
\( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \)
Логарифмическое уравнение (простейшее)
Уравнение вида \( \log_a x = b \) решается по определению логарифма.
Если \( \log_a x = b \), то \( x = a^b \). Обязательно проверить условие \( x > 0 \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
