ГДЗ: Упражнение 267 - Параграф § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

267 упражнение:

Вычислить (267–276).

1) \( \log_2 16 \)

Ответ

Необходимо найти \( \log_2 16 \).
По определению логарифма, \( 2^x = 16 \).
Так как \( 16 = 2^4 \), то \( 2^x = 2^4 \), следовательно, \( x = 4 \).

Ответ: \( 4 \)

2) \( \log_2 64 \)

Ответ

Необходимо найти \( \log_2 64 \).
По определению логарифма, \( 2^x = 64 \).
Так как \( 64 = 2^6 \), то \( 2^x = 2^6 \), следовательно, \( x = 6 \).

Ответ: \( 6 \)

3) \( \log_2 2^{\frac{1}{2}} \)

Ответ

Используем свойство \( \log_a a^p = p \).
\( \log_2 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \)

4) \( \log_2 1 \)

Ответ

Используем свойство \( \log_a 1 = 0 \).
\( \log_2 1 = 0 \).

Ответ: \( 0 \)

Что применять при решении

Определение логарифма

Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени \( x \), в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить число \( b \). Обозначается \( \log_a b \).

Если \( a^x = b \), то \( x = \log_a b \), где \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( b > 0 \).

Основное логарифмическое тождество

Основание логарифма, возведенное в степень, равную логарифму числа по этому основанию, равно самому числу.

\( a^{\log_a b} = b \)

Область определения логарифмической функции

Логарифм \( \log_a f(x) \) существует только при выполнении трех условий: 1) основание логарифма \( a > 0 \); 2) основание логарифма \( a \neq 1 \); 3) аргумент логарифма \( f(x) > 0 \).

Для \( \log_a f(x) \) должно быть: \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( f(x) > 0 \).

Свойства логарифмов

Основные свойства для преобразования выражений:

Логарифм произведения: \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
Логарифм частного: \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)
Логарифм степени: \( \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Следствие формулы перехода: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)

Частные случаи логарифмов

Логарифм единицы равен нулю, а логарифм основания равен единице.

\( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \)

Логарифмическое уравнение (простейшее)

Уравнение вида \( \log_a x = b \) решается по определению логарифма.

Если \( \log_a x = b \), то \( x = a^b \). Обязательно проверить условие \( x > 0 \).

Другие упражнения из параграфа § 15

266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4
Параграф: § 15 — Логарифмы
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.